(8) Um dipolo elétrico com um comprimento de lambda / 15 no espaço livre, deve operar imerso na água de um lago, um meio não magnético que tem varepsilon=81 cdot varepsilon0. Supondo que a água é sem perdas e se estende até o infinito, calcule a resistência de irradiação da antena neste meio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma antena dipolo elétrica que está imersa na água, que é um meio não magnético com uma permissividade elétrica varepsilon = 81 cdot varepsilon0. Precisamos calcular a resistência de irradiação dessa antena no meio da água. Para isso, vamos usar conceitos de radiação de antenas e como elas funcionam em diferentes meios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é resistência de irradiação. Em uma antena, parte da energia fornecida é perdida na forma de ondas eletromagnéticas que se propagam pelo espaço. A resistência de irradiação é uma forma de quantificar essa perda de energia. Ela depende do comprimento da antena e das propriedades do meio em que a antena está operando.

Passo 3

A fórmula geral para a resistência de irradiação de um dipolo curto (ou seja, com comprimento menor que o comprimento de onda lambda) em um meio qualquer é:
Rr = 80pi^2 ( Llambda' )^2
Onde:
  • Rr é a resistência de irradiação.
  • L é o comprimento da antena.
  • lambda' é o comprimento de onda no meio onde a antena está operando.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o comprimento de onda lambda' na água. Sabemos que o comprimento de onda em um meio é relacionado ao comprimento de onda no vácuo lambda pela fórmula:
lambda' = lambdaraizvarepsilonr mur
Onde:
  • varepsilonr é a permissividade relativa do meio.
  • mur é a permeabilidade relativa do meio.
Como a água é um meio não magnético, mur = 1. Dado que varepsilon = 81 cdot varepsilon0, temos varepsilonr = 81.
Substituindo esses valores:
lambda' = lambdaraiz81 cdot 1 = lambda9

Passo 5

Agora, vamos substituir o comprimento da antena L e o comprimento de onda no meio lambda' na fórmula da resistência de irradiação.
Sabemos que:
L = lambda15
Então:
Llambda' = lambda15lambda9 = 915 = 35

Passo 6

Substituindo Llambda' = 35 na fórmula da resistência de irradiação:
Rr = 80pi^2 ( 35 )^2 = 80pi^2 cdot 925 = 80 cdot 925 cdot pi^2
Calculando os coeficientes numéricos:
80 cdot 925 = 72025 = 28,8
Então:
Rr = 28,8 pi^2 , Omega

Resposta

A resistência de irradiação da antena no meio da água é Rr = 28,8,pi^2,Omega.

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