A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado pela função
A(x) = 120 x^2 / (x^2 + 4)
em que A(x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz. Pergunta-se:
Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função que representa a arrecadação mundial de um filme de sucesso ao longo do tempo. A função é:
Aqui, A(x) é a arrecadação em milhões de dólares e x é o número de meses que o filme fica em cartaz. A pergunta é: qual vai ser a arrecadação do filme a longo prazo? Ou seja, queremos saber o que acontece com A(x) quando x fica muito, muito grande.

Passo 2

Para descobrir o que acontece com A(x) quando x aumenta bastante, vamos usar o conceito de limite no infinito. Isso significa que vamos analisar o comportamento da função quando x tende ao infinito.
A função que temos é uma fração de dois polinômios:
Quando x fica muito grande, as partes que têm x^2 vão dominar em relação às constantes. Ou seja, o “+4” no denominador vai se tornar insignificante comparado com x^2.

Passo 3

Vamos simplificar a função considerando apenas os termos de maior grau (os que têm x^2):
Isso significa que, quando x tende ao infinito, a arrecadação A(x) se aproxima de 120 milhões de dólares.

Resposta

A arrecadação do filme a longo prazo será de 120 milhões de dólares.

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