Usando o valor de a indicado para cada item, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e caso exista, lim x a f(x). Esboce o gráfico de f.
f(x)=ccx^2-x, & x=0 -x, & x<0 (a=0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os limites laterais de uma função quando se aproxima de pelo lado esquerdo ( ) e pelo lado direito ( ). Também queremos saber se o limite geral existe e, por fim, desenhar o gráfico de .
Vamos precisar entender como calcular limites laterais e interpretar o comportamento da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x) = x^2 - x, & se x = 0 -x, & se x < 0 :
Isso significa que para valores de menores que 0, a função é , e no ponto , .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (-x) = -0 = 0 se aproxima de 0 pelo lado esquerdo ( ):
Explicando: Como estamos chegando de valores menores que 0, usamos a expressão . Quando se aproxima de 0 por esse lado, também se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, vamos ver o limite quando limx to 0^+ f(x) se aproxima de 0 pelo lado direito ( limx to 0^+ f(x) = f(0) = 0 ):
Olha só a função dada, para , a função não está definida explicitamente. Contudo, no ponto , temos . Na ausência de definição para , assumimos que a função permanece igual a ao nos aproximarmos de 0 pelo lado direito. Então:

Passo 5

Agora que temos os limites laterais:
limx to 0^- f(x) = 0 e limx to 0^+ f(x) = 0
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 0:
limx to 0 f(x) = 0

Passo 6

Para esboçar o gráfico de , vamos considerar as partes da função:
  1. Para , – isso é uma linha reta decrescente que passa pela origem.
  2. No ponto , .
  3. Para , não há definição específica além de , então podemos considerar que a função permanece em 0 ou não está definida.
Assim, o gráfico será uma linha reta para descendo até a origem, e no ponto temos apenas o ponto .

Resposta

limx to 0^- f(x) = 0, limx to 0^+ f(x) = 0 e limx to 0 f(x) = 0
O gráfico de consiste em uma linha reta com inclinação negativa para que passa pela origem, e no ponto temos o ponto .

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