Calcule as constantes de modo que:
e
sendo
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar as constantes
,
,
e
na função:
O que nos foi pedido é que:
Para isso, vamos usar conceitos de limites e achar essas constantes passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite quando
tende a
. Quando
vai para o infinito, os termos de maior grau (aqueles com potências mais altas de
) dominam o comportamento da função.
No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
. Para que o limite exista e seja finito (nesse caso, igual a 3), é necessário que os termos de maior grau se cancelem. Isso significa que o coeficiente do
no numerador deve ser zero, ou seja,
.
Passo 3
Com
, a função simplifica para:
Agora, o termo de maior grau no numerador é
e no denominador continua sendo
. Para calcular o limite quando
tende a
, dividimos os coeficientes dos termos de maior grau:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que temos
e
, nossa função fica:
O próximo passo é garantir que o limite quando
tende a
seja igual a 1. Para isso, observamos que no denominador, quando
:
Como o denominador se anula, para que o limite exista e seja finito, o numerador também precisa se anular em
. Ou seja:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 5
Além disso, queremos que o limite seja 1 quando
se aproxima de
. Para isso, usamos a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada
.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
derivada =
Denominador:
derivada =
Aplicando L’Hôpital:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
, voltamos à Equação 1 para encontrar
:
Passo 7
Então, resumindo os valores que encontramos:
Resposta
As constantes são
,
,
e
.