Calcule as constantes de modo que:
lim x +infty f(x)=3 e lim x -2 f(x)=1 sendo f(x)= a x^3+b x^2+c x+d4(x^2+x-2)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar as constantes f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d4(x^2 + x - 2) , , e na função:
O que nos foi pedido é que:
Para isso, vamos usar conceitos de limites e achar essas constantes passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite quando tende a . Quando vai para o infinito, os termos de maior grau (aqueles com potências mais altas de ) dominam o comportamento da função.
No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Para que o limite exista e seja finito (nesse caso, igual a 3), é necessário que os termos de maior grau se cancelem. Isso significa que o coeficiente do no numerador deve ser zero, ou seja, .

Passo 3

Com f(x) = b x^2 + c x + d4(x^2 + x - 2) , a função simplifica para:
lim x +infty f(x) = b4 = 3
Agora, o termo de maior grau no numerador é b4 = 3 implies b = 12 e no denominador continua sendo . Para calcular o limite quando tende a , dividimos os coeficientes dos termos de maior grau:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos f(x) = 12 x^2 + c x + d4(x^2 + x - 2) e x^2 + x - 2 = (-2)^2 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0 , nossa função fica:
12(-2)^2 + c(-2) + d = 0 implies 48 - 2c + d = 0
O próximo passo é garantir que o limite quando -2c + d = -48 (Equação 1) tende a seja igual a 1. Para isso, observamos que no denominador, quando :
Como o denominador se anula, para que o limite exista e seja finito, o numerador também precisa se anular em . Ou seja:
Isso nos dá a primeira equação:
çã

Passo 5

Além disso, queremos que o limite seja 1 quando lim x -2 f(x) = lim x -2 24x + c4(2x + 1) = 1 se aproxima de 24(-2) + c4(2(-2) + 1) = -48 + c4(-4 + 1) = -48 + c-12 = 48 - c12 = 1 . Para isso, usamos a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada 48 - c12 = 1 implies 48 - c = 12 implies c = 36 .
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador: derivada =
Denominador: derivada =
Aplicando L’Hôpital:
Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos -2(36) + d = -48 implies -72 + d = -48 implies d = 24 , voltamos à Equação 1 para encontrar :

Passo 7

Então, resumindo os valores que encontramos:
a = 0, b = 12, c = 36, d = 24

Resposta

As constantes são , , e .

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