Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
lim x -infty x^2(sen x+cos ^3 x)(x^2+1)(x-3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite que precisamos calcular:
limx -infty x^2(sin x + cos^3 x)(x^2+1)(x-3)
Esse exercício pede para usar o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sandwich ou Teorema do Aperto. Basicamente, vamos usar esse teorema para encontrar o limite quando tende a menos infinito. Para resolver, vamos precisar saber como as funções trigonométricas se comportam e como simplificar frações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as funções seno e cosseno sempre estão entre -1 e 1, independente do valor de -1 <= sin x <= 1 e -1 <= cos x <= 1 . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos analisar -1 <= cos^3 x <= 1 . Como está entre -1 e 1, ao elevar ao cubo a desigualdade permanece:

Passo 4

Somando -1 + (-1) = -2 <= sin x + cos^3 x <= 1 + 1 = 2 e -2 <= sin x + cos^3 x <= 2 , temos:
Então:

Passo 5

Multiplicando todos os lados da desigualdade por -2x^2 <= x^2(sin x + cos^3 x) <= 2x^2 (que é sempre positivo, já que está indo para menos infinito):

Passo 6

Agora, vamos dividir tudo pela expressão do denominador -2x^2(x^2 + 1)(x - 3) <= x^2(sin x + cos^3 x)(x^2 + 1)(x - 3) <= 2x^2(x^2 + 1)(x - 3) :

Passo 7

Vamos simplificar essas frações. Para grandes valores absolutos de -2x^2x^2 cdot x = -2x^2x^3 = -2x , 2x^2x^2 cdot x = 2x^2x^3 = 2x é aproximadamente e é aproximadamente . Então:
e

Passo 8

Agora, temos:
-2x <= x^2(sin x + cos^3 x)(x^2 + 1)(x - 3) <= 2x
Sabemos que quando tende a menos infinito, e tendem a 0, porque se aproxima de 0.

Passo 9

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Então, como:
limx -infty -2x = 0 e limx -infty 2x = 0
Concluímos que:
limx -infty x^2(sin x + cos^3 x)(x^2 + 1)(x - 3) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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