Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite que precisamos calcular:
Esse exercício pede para usar o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sandwich ou Teorema do Aperto. Basicamente, vamos usar esse teorema para encontrar o limite quando
tende a menos infinito. Para resolver, vamos precisar saber como as funções trigonométricas se comportam e como simplificar frações polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as funções seno e cosseno sempre estão entre -1 e 1, independente do valor de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Como
está entre -1 e 1, ao elevar ao cubo a desigualdade permanece:
Passo 4
Somando
e
, temos:
Então:
Passo 5
Multiplicando todos os lados da desigualdade por
(que é sempre positivo, já que
está indo para menos infinito):
Passo 6
Agora, vamos dividir tudo pela expressão do denominador
:
Passo 7
Vamos simplificar essas frações. Para grandes valores absolutos de
,
é aproximadamente
e
é aproximadamente
. Então:
e
Passo 8
Agora, temos:
Sabemos que quando
tende a menos infinito,
e
tendem a 0, porque
se aproxima de 0.
Passo 9
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Então, como:
Concluímos que:
Resposta
O limite é igual a 0.