Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
y.
5.
5.
Passo 1
O enunciado pede que, para a EDO autônoma
façamos o esboço de
, identifiquemos os pontos de equilíbrio e sua estabilidade, tracemos a reta de fase e, finalmente, esbocemos algumas curvas solução no plano
. O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações diferenciais autônomas de primeira ordem.
Passo 2
Vamos estudar o gráfico de
Para
temos
e, portanto,
. Para
temos
e
. A curva é monótonamente decrescente pois
O esboço é uma curva que parte de
à esquerda e decai assintoticamente a
à direita, cruzando o eixo
em
.
Passo 3
Equilíbrio (ponto crítico) ocorre onde
, ou seja
Para caracterizar a estabilidade, examinamos
em
:
Como a derivada é negativa, o ponto
é assintoticamente estável (atrai soluções próximas).
Passo 4
Na reta de fase ao longo do eixo
:
- Para
: implica , então as setas apontam para a direita (crescimento de ). - Para
: implica , então as setas apontam para a esquerda (decrescimento de ).
A única seta que muda de direção é em, confirmando estabilidade.
Passo 5
Esboçando soluções
no plano
:
- Se
, decresce monotonicamente e tende a conforme . - Se
, cresce monotonicamente e tende a conforme . - A convergência é suave, já que
é contínua e Lipschitz. Para , se , a solução tende a lentamente (dependendo do lado).
Resposta
O único ponto de equilíbrio é
, e ele é assintoticamente estável.