Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
5. d y / d t=e^{-y}-1, \quad-\infty<y_{0}<\infty

Passo 1

O enunciado pede que, para a EDO autônoma
\frac{dy}{dt}=f(y)=e^{-y}-1,\quad -\infty<y_0<\infty,
façamos o esboço de f(y), identifiquemos os pontos de equilíbrio e sua estabilidade, tracemos a reta de fase e, finalmente, esbocemos algumas curvas solução no plano (t,y). O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações diferenciais autônomas de primeira ordem.

Passo 2

Vamos estudar o gráfico de
f(y)=e^{-y}-1.
Para y\to-\infty temos e^{-y}\to+\infty e, portanto, f(y)\to+\infty. Para y\to+\infty temos e^{-y}\to0 e f(y)\to-1. A curva é monótonamente decrescente pois
f'(y)=-e^{-y}<0\quad\forall y.
O esboço é uma curva que parte de +\infty à esquerda e decai assintoticamente a -1 à direita, cruzando o eixo y em f=0.

Passo 3

Equilíbrio (ponto crítico) ocorre onde f(y)=0, ou seja
e^{-y}-1=0\quad\Longrightarrow\quad e^{-y}=1\quad\Longrightarrow\quad y=0.
Para caracterizar a estabilidade, examinamos f'(y) em y=0:
f'(0)=-e^{0}=-1<0.
Como a derivada é negativa, o ponto y=0 é assintoticamente estável (atrai soluções próximas).

Passo 4

Na reta de fase ao longo do eixo y:
  • Para y<0: e^{-y}>1 implica f(y)>0, então as setas apontam para a direita (crescimento de y).
  • Para y>0: e^{-y}<1 implica f(y)<0, então as setas apontam para a esquerda (decrescimento de y).
    A única seta que muda de direção é em y=0, confirmando estabilidade.

Passo 5

Esboçando soluções y(t) no plano (t,y):
  • Se y_0>0, y(t) decresce monotonicamente e tende a 0 conforme t\to+\infty.
  • Se y_0<0, y(t) cresce monotonicamente e tende a 0 conforme t\to+\infty.
  • A convergência é suave, já que f(y) é contínua e Lipschitz. Para t\to-\infty, se y_0\neq0, a solução tende a \pm\infty lentamente (dependendo do lado).

Resposta

O único ponto de equilíbrio é y=0, e ele é assintoticamente estável.

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