Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
6. d y / d t=-2(\arctan y) /\left(1+y^{2}\right), \quad-\infty<y_{0}<\infty

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO autônoma
\frac{dy}{dt}=f(y)=-2\,\frac{\arctan y}{1+y^2},
com y_0\in(-\infty,\infty). O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações diferenciais autônomas: precisamos esboçar o gráfico de f(y), determinar os pontos de equilíbrio, classificar sua estabilidade, desenhar a reta de fase e, por fim, esboçar perfis de soluções no plano (t,y).

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio, resolvemos
f(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad -2\,\frac{\arctan y}{1+y^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \arctan y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.
Logo, existe exatamente um equilíbrio: \;y^*=0.

Passo 3

Analisamos o sinal de f(y) para esboçar seu gráfico qualitativo:
  • Se y>0, então \arctan y>0 e -2\,\frac{\arctan y}{1+y^2}<0.
  • Se y<0, então \arctan y<0 e -2\,\frac{\arctan y}{1+y^2}>0.
    Além disso, quando \lvert y\rvert\to\infty, temos \arctan y\to\pm\frac{\pi}{2} e 1+y^2\to\infty, logo f(y)\to0.
    Isso produz um gráfico com zero simples em y=0, decrescente para y>0 (abaixo do eixo) e crescente para y<0 (acima do eixo).

Passo 4

Para classificar a estabilidade de y^*=0, basta ver que para y>0 as setas apontam para a esquerda (úm ponto tende a diminuir) e para y<0 apontam para a direita (tende a aumentar). Assim, todas as soluções se dirigem a y=0 com o avanço do tempo, caracterizando y=0 como assintoticamente estável.
Alternativamente, podemos calcular
f'(y) =\frac{d}{dy}\Bigl(-2\,\frac{\arctan y}{1+y^2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad f'(0)=-2<0,
o que confirma estabilidade.

Passo 5

A reta de fase (eixo y) fica assim: \;\longrightarrow para y<0, ponto de equilíbrio em y=0, e \longleftarrow para y>0.

Passo 6

No plano (t,y), as soluções se comportam assim:
  • Se y_0>0, y(t) decresce monotonamente e tende a 0 quando t\to+\infty; para t\to-\infty, tende a +\infty.
  • Se y_0<0, y(t) cresce monotonamente e tende a 0 quando t\to+\infty; para t\to-\infty, tende a -\infty.
  • Se y_0=0, a solução é constante y(t)\equiv0.

Resposta

Equilíbrio: y^*=0.
Classificação: y=0 é assintoticamente estável.
Reta de fase: seta à direita para y<0, seta à esquerda para y>0.
Perfis de solução: soluções monotônicas tendendo a zero conforme descrito acima.

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