Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
y.
6.
6.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO autônoma
com
. O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações diferenciais autônomas: precisamos esboçar o gráfico de
, determinar os pontos de equilíbrio, classificar sua estabilidade, desenhar a reta de fase e, por fim, esboçar perfis de soluções no plano
.
Passo 2
Para achar os pontos de equilíbrio, resolvemos
Logo, existe exatamente um equilíbrio:
Passo 3
Analisamos o sinal de
para esboçar seu gráfico qualitativo:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Além disso, quando, temos e , logo .
Isso produz um gráfico com zero simples em, decrescente para (abaixo do eixo) e crescente para (acima do eixo).
Passo 4
Para classificar a estabilidade de
, basta ver que para
as setas apontam para a esquerda (úm ponto tende a diminuir) e para
apontam para a direita (tende a aumentar). Assim, todas as soluções se dirigem a
com o avanço do tempo, caracterizando
como assintoticamente estável.
Alternativamente, podemos calcular
Alternativamente, podemos calcular
o que confirma estabilidade.
Passo 5
A reta de fase (eixo
) fica assim:
para
, ponto de equilíbrio em
, e
para
.
Passo 6
No plano
, as soluções se comportam assim:
- Se
, decresce monotonamente e tende a quando ; para , tende a . - Se
, cresce monotonamente e tende a quando ; para , tende a . - Se
, a solução é constante .
Resposta
Equilíbrio:
.
Classificação: é assintoticamente estável.
Reta de fase: seta à direita para , seta à esquerda para
.
Perfis de solução: soluções monotônicas tendendo a zero conforme descrito acima.
Classificação:
Reta de fase: seta à direita para
Perfis de solução: soluções monotônicas tendendo a zero conforme descrito acima.