Nos arredores de uma oficina mecânica, o dispositivo de redução de ruídos identificou a seguinte onda sonora proveniente do ambiente: f ( x ) = 350 + 145 s e n ( π x 30 ) f(x)=350+145sen(π 30 x ​ ) .
Assinale as alternativas corretas com relação à onda sonora f(x).
A) O menor valor de x que resulta na intensidade máxima no intervalo [0, 50] é 15.
B) O menor valor de x que resulta na intensidade mínima no intervalo [0, 50] é 0.
C) O menor valor de x que resulta na intensidade mínima no intervalo [0, 50] é 45.
D) Para neutralizar o som ambiente, o dispositivo deve emitir uma onda g ( x ) = − 350 − 145 s e n ( π x 30 ) g(x)=−350−145sen(π 30 x ​ ) .
E) Para neutralizar o som ambiente, o dispositivo deve emitir uma onda g ( x ) = − 350 − 145 s e n ( x ) g(x)=−350−145sen(x) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda sonora $ f(x) = 350 + 145 \sin\left(\frac{\pi x}{30}\right) $ identificada perto de uma oficina mecânica. O conteúdo envolve funções trigonométricas e análise de ondas sonoras. Para resolver as alternativas, vamos precisar entender como identificar máximos e mínimos dessa função no intervalo de $ x $ de 0 a 50 e também como neutralizar a onda sonora.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = 350 + 145 \sin\left(\frac{\pi x}{30}\right) $. Aqui, $ 350 $ representa a intensidade média do som, e $ 145 \sin\left(\frac{\pi x}{30}\right) $ é a parte oscilante da onda.

Passo 3

Para encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x) $, precisamos saber os valores máximos e mínimos da função seno. Sabemos que $ \sin(\theta) $ varia entre -1 e 1. Então:
f(x)
Multiplicando por 145:
sin(theta)
Somando 350 a tudo:
-1 <= sin(pi x30) <= 1
Então, a intensidade mínima é 205 e a máxima é 495.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de $ x $ que resultam nesses extremos no intervalo [0, 50].
Para o máximo, $ f(x) = 495 $:
x
Sabemos que $ \sin(\theta) = 1 $ quando $ \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, onde $ k $ é inteiro.
Então:
f(x) = 495
No intervalo [0, 50], o menor $ x $ que satisfaz é 15.

Passo 5

Para o mínimo, $ f(x) = 205 $:
f(x) = 205
Sabemos que $ \sin(\theta) = -1 $ quando $ \theta = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $, onde $ k $ é inteiro.
Então:
205 = 350 + 145 sin(pi x30) 145 sin(pi x30) = -145 sin(pi x30) = -1
No intervalo [0, 50], o menor $ x $ que satisfaz é 45.

Passo 6

Agora, vamos verificar as alternativas:
  • A) O menor valor de x que resulta na intensidade máxima no intervalo [0, 50] é 15.
    Conforme calculamos, isso é verdade.
  • B) O menor valor de x que resulta na intensidade mínima no intervalo [0, 50] é 0.
    Não, o mínimo ocorre em 45.
  • C) O menor valor de x que resulta na intensidade mínima no intervalo [0, 50] é 45.
    Correto.
  • D) Para neutralizar o som ambiente, o dispositivo deve emitir uma onda $ g(x) = -350 - 145 \sin\left(\frac{\pi x}{30}\right) $.
    Correto, pois a neutralização exige uma onda de mesma amplitude e frequência, mas com sinal invertido.
  • E) Para neutralizar o som ambiente, o dispositivo deve emitir uma onda $ g(x) = -350 - 145 \sin(x) $.
    Errado, a frequência da função seno deve ser a mesma da onda original, ou seja, $ \frac{\pi x}{30} $, e não $ x $.

Resposta

As alternativas corretas são A, C e D.

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