Considere os seus conhecimentos sobre espaços vetoriais e transformações lineares, dados os espaços vetoriais V e U, seja F: V em U uma transformação linear.
Assinale a alternativa que corresponde à definição de TRANSFORMAÇÃO INJETORA da transformação F:
Escolha uma:
a.
Trata-se do conjunto de todos os elementos v pertencentes a V tal que f(v) = 0.
b.
Se considerarmos x e y elementos distintos de V então estes possuem imagens distintas em U, ou seja, f(x) é diferente de f(y).
c.
Trata-se o conjunto de todos u pertencentes a U que tal que f(u) = v , sendo v pertencente a V.
d.
Se considerarmos cada u pertencente a U, temos que existe v pertencente a V tal que f(v) = u.
e.
Se considerarmos cada v pertencente a V, temos que existe u pertencente a U tal que f(u) = v
Assinale a alternativa que corresponde à definição de TRANSFORMAÇÃO INJETORA da transformação F:
Escolha uma:
a.
Trata-se do conjunto de todos os elementos v pertencentes a V tal que f(v) = 0.
b.
Se considerarmos x e y elementos distintos de V então estes possuem imagens distintas em U, ou seja, f(x) é diferente de f(y).
c.
Trata-se o conjunto de todos u pertencentes a U que tal que f(u) = v , sendo v pertencente a V.
d.
Se considerarmos cada u pertencente a U, temos que existe v pertencente a V tal que f(v) = u.
e.
Se considerarmos cada v pertencente a V, temos que existe u pertencente a U tal que f(u) = v
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois espaços vetoriais, V e U, e uma transformação linear F que vai de V para U. A pergunta quer saber qual das alternativas define uma transformação injetora. Pra resolver isso, vamos lembrar o que significa uma transformação injetora e identificar qual das opções corresponde a essa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação $ F: V \rightarrow U $ é injetora se, sempre que dois vetores $ x $ e $ y $ em $ V $ são diferentes, suas imagens em $ U $ também são diferentes. Em outras palavras, nenhuma informação é “perdida”; ou seja, $ F(x) \neq F(y) $ sempre que $ x \neq y $.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada alternativa para ver qual delas reflete essa definição.
Alternativa a:
“Trata-se do conjunto de todos os elementos $ v $ pertencentes a $ V $ tal que $ f(v) = 0 $.”
“Trata-se do conjunto de todos os elementos $ v $ pertencentes a $ V $ tal que $ f(v) = 0 $.”
- Isso na verdade define o núcleo da transformação, não a injetividade.
Alternativa b:
“Se considerarmos $ x $ e $ y $ elementos distintos de $ V $ então estes possuem imagens distintas em $ U $, ou seja, $ f(x) $ é diferente de $ f(y) $.”
“Se considerarmos $ x $ e $ y $ elementos distintos de $ V $ então estes possuem imagens distintas em $ U $, ou seja, $ f(x) $ é diferente de $ f(y) $.”
- Essa está alinhada com a definição de uma transformação injetora que discutimos.
Alternativa c:
“Trata-se o conjunto de todos $ u $ pertencentes a $ U $ que tal que $ f(u) = v $, sendo $ v $ pertencente a $ V $.”
“Trata-se o conjunto de todos $ u $ pertencentes a $ U $ que tal que $ f(u) = v $, sendo $ v $ pertencente a $ V $.”
- Isso parece confuso e não corresponde à definição de injetora. Além disso, mistura elementos de $ U $ e $ V $ de forma inadequada.
Alternativa d:
“Se considerarmos cada $ u $ pertencente a $ U $, temos que existe $ v $ pertencente a $ V $ tal que $ f(v) = u $.”
“Se considerarmos cada $ u $ pertencente a $ U $, temos que existe $ v $ pertencente a $ V $ tal que $ f(v) = u $.”
- Isso está mais relacionado a uma transformação sobrejetora, onde todo elemento de $ U $ é atingido por algum elemento de $ V $.
Alternativa e:
“Se considerarmos cada $ v $ pertencente a $ V $, temos que existe $ u $ pertencente a $ U $ tal que $ f(u) = v $.”
“Se considerarmos cada $ v $ pertencente a $ V $, temos que existe $ u $ pertencente a $ U $ tal que $ f(u) = v $.”
- Também não corresponde à injetividade e está formulada de forma incorreta.
Resposta
A alternativa correta é a b.