Seja um paralelepípedo retângulo cuja área total é igual a 846cm² e tal que as medidas das arestas, em centímetros, são termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 3. Para esse paralelepípedo, determine:
a) a medida da diagonal, em centímetros;
b) o volume, em centímetros cúbicos.
ps.: alguém poderia me ajudar? agradeço desde já!
a) a medida da diagonal, em centímetros;
b) o volume, em centímetros cúbicos.
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta tá pedindo. Temos um paralelepípedo retângulo, que é tipo uma caixa com faces retangulares. A área total dessa caixa é 846 cm². As medidas das arestas (os lados) dessa caixa são números que formam uma progressão aritmética com uma diferença de 3. Ou seja, se a primeira aresta tem tamanho a, a segunda vai ser a + 3 e a terceira a + 6.
Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de área de paralelepípedo, propriedades de progressão aritmética e fórmulas para diagonal e volume desse tipo de figura.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as medidas das arestas. Vamos chamar as arestas de a, a + 3 e a + 6. Essas são três medidas consecutivas de uma progressão aritmética com razão 3.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da área total do paralelepípedo. A área total (AT) é dada por:
Onde a, b e c são as arestas. Substituindo b por a + 3 e c por a + 6, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação passo a passo. Primeiro, vamos calcular cada termo dentro dos parênteses:
- $ a(a + 3) = a^2 + 3a $
- $ (a + 3)(a + 6) = a^2 + 9a + 18 $
- $ a(a + 6) = a^2 + 6a $
Agora, somando tudo:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Vamos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 7
A fórmula de Bhaskara é:
Para nossa equação $ a^2 + 6a - 135 = 0 $, os coeficientes são:
- $ a = 1 $
- $ b = 6 $
- $ c = -135 $
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula:
Temos duas soluções:
- $ a = \frac{-6 + 24}{2} = \frac{18}{2} = 9 $
- $ a = \frac{-6 - 24}{2} = \frac{-30}{2} = -15 $
Como estamos falando de medidas, descartamos a solução negativa. Então, $ a = 9 $ cm.
Passo 9
Agora que sabemos que $ a = 9 $ cm, as outras arestas são:
- $ b = a + 3 = 12 $ cm
- $ c = a + 6 = 15 $ cm
Passo 10
Parte a) Vamos encontrar a medida da diagonal do paralelepípedo. A fórmula para a diagonal ($ d $) é:
Substituindo os valores:
Podemos simplificar:
Parte b)
Vamos calcular o volume ($ V $) do paralelepípedo, que é dado por:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A medida da diagonal é aproximadamente 21,21 cm.
b) O volume é 1620 cm³.