Seja um paralelepípedo retângulo cuja área total é igual a 846cm² e tal que as medidas das arestas, em centímetros, são termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 3. Para esse paralelepípedo, determine:
a) a medida da diagonal, em centímetros;
b) o volume, em centímetros cúbicos.
ps.: alguém poderia me ajudar? agradeço desde já!

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta tá pedindo. Temos um paralelepípedo retângulo, que é tipo uma caixa com faces retangulares. A área total dessa caixa é 846 cm². As medidas das arestas (os lados) dessa caixa são números que formam uma progressão aritmética com uma diferença de 3. Ou seja, se a primeira aresta tem tamanho a, a segunda vai ser a + 3 e a terceira a + 6.
Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de área de paralelepípedo, propriedades de progressão aritmética e fórmulas para diagonal e volume desse tipo de figura.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as medidas das arestas. Vamos chamar as arestas de a, a + 3 e a + 6. Essas são três medidas consecutivas de uma progressão aritmética com razão 3.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da área total do paralelepípedo. A área total (AT) é dada por:
AT = 2(ab + bc + ac)
Onde a, b e c são as arestas. Substituindo b por a + 3 e c por a + 6, temos:
846 = 2(a(a + 3) + (a + 3)(a + 6) + a(a + 6))

Passo 4

Vamos simplificar essa equação passo a passo. Primeiro, vamos calcular cada termo dentro dos parênteses:
  1. $ a(a + 3) = a^2 + 3a $
  2. $ (a + 3)(a + 6) = a^2 + 9a + 18 $
  3. $ a(a + 6) = a^2 + 6a $
Agora, somando tudo:
a(a + 3) = a^2 + 3a
Então, nossa equação fica:
(a + 3)(a + 6) = a^2 + 9a + 18

Passo 5

Vamos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:
423 = 3a^2 + 18a + 18
Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação:
3a^2 + 18a + 18 - 423 = 0 3a^2 + 18a - 405 = 0

Passo 6

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
a^2 + 6a - 135 = 0
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 7

A fórmula de Bhaskara é:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Para nossa equação $ a^2 + 6a - 135 = 0 $, os coeficientes são:
  • $ a = 1 $
  • $ b = 6 $
  • $ c = -135 $
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
a^2 + 6a - 135 = 0

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula:
a = -6 pm raiz5762(1) a = -6 pm 242
Temos duas soluções:
  1. $ a = \frac{-6 + 24}{2} = \frac{18}{2} = 9 $
  2. $ a = \frac{-6 - 24}{2} = \frac{-30}{2} = -15 $
Como estamos falando de medidas, descartamos a solução negativa. Então, $ a = 9 $ cm.

Passo 9

Agora que sabemos que $ a = 9 $ cm, as outras arestas são:
  • $ b = a + 3 = 12 $ cm
  • $ c = a + 6 = 15 $ cm

Passo 10

Parte a) Vamos encontrar a medida da diagonal do paralelepípedo. A fórmula para a diagonal ($ d $) é:
d
Substituindo os valores:
d = raiza^2 + b^2 + c^2
Podemos simplificar:
d = raiz9^2 + 12^2 + 15^2 = raiz81 + 144 + 225 = raiz450

Parte b)

Vamos calcular o volume ($ V $) do paralelepípedo, que é dado por:
raiz450 = raiz225 times 2 = 15raiz2 approx 21,21 cm
Substituindo os valores:
V

Resposta

a) A medida da diagonal é aproximadamente 21,21 cm.
b) O volume é 1620 cm³.

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