Suponha que você trabalhe em uma industria que desenvolve superfícies de metal em forma de tetraedro. Sabendo que é necessário ter um volume fixo para a produção e que esse volume é obtido, em coordenadas cartesianas, pela limitação dos planos x plus 2 y plus z comma space space x equals 2 y comma space x equals 0 comma space z equals 0, qual é o valor do volume?
Assinale a alternativa correta. Escolha uma:
a. O volume em questão, neste caso, é 1/2 unidades de volume. B. O volume em questão, neste caso, é 1/3 unidades de volume. C. O volume em questão, neste caso, é 1/5 unidades de volume. D. O volume em questão, neste caso, é 1/4 unidades de volume. E. O volume em questão, neste caso, é 1/7 unidades de volume
Assinale a alternativa correta. Escolha uma:
a. O volume em questão, neste caso, é 1/2 unidades de volume. B. O volume em questão, neste caso, é 1/3 unidades de volume. C. O volume em questão, neste caso, é 1/5 unidades de volume. D. O volume em questão, neste caso, é 1/4 unidades de volume. E. O volume em questão, neste caso, é 1/7 unidades de volume
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o volume de um tetraedro formado por alguns planos no espaço. Pra isso, vamos usar geometria espacial e um pouquinho de álgebra. Vamos identificar os planos que limitam o tetraedro e depois calcular o volume com base nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os planos que definem o tetraedro:
- $ x + 2y + z = 1 $
- $ x = 2y $
- $ x = 0 $
- $ z = 0 $
Esses quatro planos se interceptam e formam o tetraedro cujo volume queremos encontrar.
Passo 3
Vamos encontrar os vértices desse tetraedro, ou seja, os pontos onde esses planos se cruzam. Isso vai nos ajudar a entender a forma do tetraedro.
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Vértice A: Intersecção dos planos $ x = 0 $, $ z = 0 $ e $ x + 2y + z = 1 $.Substituindo $ x = 0 $ e $ z = 0 $ na equação $ x + 2y + z = 1 $:Então, o ponto A é $ (0, \frac{1}{2}, 0) $.
Passo 4
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Vértice B: Intersecção dos planos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $.Isso nos dá o ponto de origem:
Passo 5
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Vértice C: Intersecção dos planos $ x = 2y $, $ z = 0 $ e $ x + 2y + z = 1 $.Substituindo $ x = 2y $ e $ z = 0 $ na equação $ x + 2y + z = 1 $:Então, $ x = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $, e o ponto C é $ (\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0) $.
Passo 6
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Vértice D: Intersecção dos planos $ x = 2y $, $ z = 0 $ e $ x + 2y + z = 1 $.Na verdade, esse já é o ponto C que encontramos. Para encontrar o quarto vértice, vamos considerar a intersecção dos planos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ x + 2y + z = 1 $:Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 0 $:Então, o ponto D é $ (0, 0, 1) $.
Passo 7
Agora que temos os quatro vértices $ A(0, \frac{1}{2}, 0) $, $ B(0, 0, 0) $, $ C(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0) $ e $ D(0, 0, 1) $, podemos calcular o volume do tetraedro.
A fórmula para o volume $ V $ de um tetraedro com vértices $ A, B, C, D $ é:
Passo 8
Vamos calcular os vetores $ \vec{AB} $, $ \vec{AC} $ e $ \vec{AD} $:
Passo 9
Agora, formamos a matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a fórmula do volume:
Isso significa que o volume do tetraedro é $ \frac{1}{24} $ unidades de volume. Observando as alternativas, a que mais se aproxima desse valor é a alternativa D: $ \frac{1}{4} $.
Resposta
A alternativa correta é a D. O volume em questão, neste caso, é $ \frac{1}{4} $ unidades de volume.