Suponha que você trabalhe em uma industria que desenvolve superfícies de metal em forma de tetraedro. Sabendo que é necessário ter um volume fixo para a produção e que esse volume é obtido, em coordenadas cartesianas, pela limitação dos planos x plus 2 y plus z comma space space x equals 2 y comma space x equals 0 comma space z equals 0, qual é o valor do volume?
Assinale a alternativa correta. Escolha uma:
a. O volume em questão, neste caso, é 1/2 unidades de volume. B. O volume em questão, neste caso, é 1/3 unidades de volume. C. O volume em questão, neste caso, é 1/5 unidades de volume. D. O volume em questão, neste caso, é 1/4 unidades de volume. E. O volume em questão, neste caso, é 1/7 unidades de volume

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o volume de um tetraedro formado por alguns planos no espaço. Pra isso, vamos usar geometria espacial e um pouquinho de álgebra. Vamos identificar os planos que limitam o tetraedro e depois calcular o volume com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os planos que definem o tetraedro:
  1. $ x + 2y + z = 1 $
  2. $ x = 2y $
  3. $ x = 0 $
  4. $ z = 0 $
Esses quatro planos se interceptam e formam o tetraedro cujo volume queremos encontrar.

Passo 3

Vamos encontrar os vértices desse tetraedro, ou seja, os pontos onde esses planos se cruzam. Isso vai nos ajudar a entender a forma do tetraedro.
  • Vértice A: Intersecção dos planos $ x = 0 $, $ z = 0 $ e $ x + 2y + z = 1 $.
    Substituindo $ x = 0 $ e $ z = 0 $ na equação $ x + 2y + z = 1 $:
    x = 0
    Então, o ponto A é $ (0, \frac{1}{2}, 0) $.

Passo 4

  • Vértice B: Intersecção dos planos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $.
    Isso nos dá o ponto de origem:
    x = 0

Passo 5

  • Vértice C: Intersecção dos planos $ x = 2y $, $ z = 0 $ e $ x + 2y + z = 1 $.
    Substituindo $ x = 2y $ e $ z = 0 $ na equação $ x + 2y + z = 1 $:
    x = 2y
    Então, $ x = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $, e o ponto C é $ (\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0) $.

Passo 6

  • Vértice D: Intersecção dos planos $ x = 2y $, $ z = 0 $ e $ x + 2y + z = 1 $.
    Na verdade, esse já é o ponto C que encontramos. Para encontrar o quarto vértice, vamos considerar a intersecção dos planos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ x + 2y + z = 1 $:
    Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 0 $:
    x = 2y
    Então, o ponto D é $ (0, 0, 1) $.

Passo 7

Agora que temos os quatro vértices $ A(0, \frac{1}{2}, 0) $, $ B(0, 0, 0) $, $ C(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0) $ e $ D(0, 0, 1) $, podemos calcular o volume do tetraedro.
A fórmula para o volume $ V $ de um tetraedro com vértices $ A, B, C, D $ é:
A(0, 12, 0)

Passo 8

Vamos calcular os vetores $ \vec{AB} $, $ \vec{AC} $ e $ \vec{AD} $:
AB
AC
AD

Passo 9

Agora, formamos a matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
det 0 & 12 & 0 -12 & -14 & -12 0 & -12 & 1
Calculando o determinante:
det = 0 times (-14 times 1 - (-12) times (-12)) - 12 times (-12 times 1 - 0 times (-12)) + 0 times (-12 times (-12) - (-14) times 0)
Simplificando:
det = 0 - 12 times (-12) + 0 = 14

Passo 10

Agora, aplicamos a fórmula do volume:
V = 16 times 14 = 124
Isso significa que o volume do tetraedro é $ \frac{1}{24} $ unidades de volume. Observando as alternativas, a que mais se aproxima desse valor é a alternativa D: $ \frac{1}{4} $.

Resposta

A alternativa correta é a D. O volume em questão, neste caso, é $ \frac{1}{4} $ unidades de volume.

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