Teste Conceitual 4

Uma partícula move-se de acordo com a função:
x=2 \mathrm{~m}-(24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \mathrm{t}+\left(2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t}^{3}
sendo x em metros et em segundos. Encontre a velocidade e aceleração da partícula em função do tempo. Obtenha também a posição da partícula em \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}. Escolha uma:
(A) \mathrm{v}=-(24 \mathrm{~m} / \mathrm{s})+\left(6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t}^{2} ; \mathrm{a}=\left(6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t} ; 2 \mathrm{~m}.
(B) \mathrm{v}=-(24 \mathrm{~m} / \mathrm{s})+\left(6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t}^{2} ; \mathrm{a}=\left(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t} ; 2 \mathrm{~m}.
(C) v=-(24 \mathrm{~m} / \mathrm{s})+\left(3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t}^{2} ; \mathrm{a}=\left(6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t} ; 2 \mathrm{~m}.
(D) v=-(24 \mathrm{~m} / \mathrm{s})+\left(2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t}^{2} ; \mathrm{a}=\left(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t} ; 4 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo,
x(t)=2\,\mathrm{m}-24\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,t+2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t^3,
e pede a velocidade v(t), a aceleração a(t) e a posição em t=0. O conteúdo aqui é cinemática unidimensional e vamos usar derivadas: a velocidade é \mathrm{d}x/\mathrm{d}t e a aceleração é \mathrm{d}v/\mathrm{d}t.

Passo 2

Para achar a velocidade, derivamos x(t) em relação a t. A derivada de uma constante é zero, de -24\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,t é -24\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} e de 2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t^3 é
3\cdot2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t^2=6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t^2.
Logo,
v(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =-24\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} +6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t^2.

Passo 3

Para a aceleração, derivamos v(t). A derivada de -24\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} é zero e de 6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t^2 é
2\cdot6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t=12\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t.
Portanto,
a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =12\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t.

Passo 4

A posição em t=0 basta avaliar x(0):
x(0)=2\,\mathrm{m}-24\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot0 +2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\cdot0^3 =2\,\mathrm{m}.

Resposta

(B) \displaystyle v(t)=-24\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t^2;\quad a(t)=12\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,t;\quad x(0)=2\,\mathrm{m}.

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