Uma arruela fina tem raio externo R e interno R / 2. Uma carga Q é distribuída uniformemente na arruela. Calcule o potencial elétrico no eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao seu plano. Se a distância do ponto do eixo ao centro for muito maior que o raio da arruela, quanto vale o potencial? Calcule o campo elétrico. Considere V=0 em r=\infty.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(z) ao longo do eixo que passa pelo centro de uma arruela fina de raio interno R/2 e externo R, com carga total Q distribuída uniformemente na sua superfície. Depois, queremos o limite de V(z) para z\gg R e o campo elétrico E(z) nesse eixo. Vamos usar a densidade superficial \sigma, dividir a arruela em anéis elementares e integrar para obter V(z), e então derivar para achar E(z).

Passo 2

Como a carga total é Q e a área da arruela vale
A=\pi\bigl(R^2 - (R/2)^2\bigr)=\tfrac{3\pi R^2}{4},
a densidade superficial é
\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{3\pi R^2}.

Passo 3

Considere um anel elementar de raio r e espessura dr. A carga desse anel é
dQ = \sigma\,(2\pi r\,dr).
Todo ponto desse anel está a distância \sqrt{z^2 + r^2} do ponto sobre o eixo. Logo o potencial devido a esse anel é
dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dQ}{\sqrt{z^2+r^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}},
onde usamos \tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}2\pi = \tfrac{1}{2\varepsilon_0}.

Passo 4

Integramos r de R/2 até R. Note que
\int \frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}} =\Bigl[\sqrt{z^2+r^2}\Bigr]_{r=R/2}^{r=R} =\sqrt{z^2+R^2}-\sqrt{z^2+\tfrac{R^2}{4}}.
Portanto
V(z) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(\sqrt{z^2+R^2}-\sqrt{z^2+\tfrac{R^2}{4}}\Bigr).

Passo 5

Substituindo \sigma=\tfrac{4Q}{3\pi R^2}, obtemos
V(z) =\frac{2Q}{3\pi\varepsilon_0 R^2}\Bigl(\sqrt{z^2+R^2}-\sqrt{z^2+\tfrac{R^2}{4}}\Bigr).
Para z\gg R, usamos a expansão \sqrt{z^2+a^2}\approx z+\tfrac{a^2}{2z}, então
\sqrt{z^2+R^2}-\sqrt{z^2+\tfrac{R^2}{4}} \approx \Bigl(z+\tfrac{R^2}{2z}\Bigr)-\Bigl(z+\tfrac{R^2}{8z}\Bigr) =\frac{3R^2}{8z}.
Assim
V(z)\approx \frac{2Q}{3\pi\varepsilon_0 R^2}\,\frac{3R^2}{8z} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,z},
ou seja, o potencial se comporta como o de uma carga pontual Q.

Passo 6

O campo elétrico ao longo do eixo é
E(z)=-\frac{dV}{dz} =-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Bigl[\frac{d}{dz}\sqrt{z^2+R^2}-\frac{d}{dz}\sqrt{z^2+\tfrac{R^2}{4}}\Bigr].
Como \tfrac{d}{dz}\sqrt{z^2+a^2}=z/\sqrt{z^2+a^2}, resulta
E(z) =-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Bigl(\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}-\frac{z}{\sqrt{z^2+\tfrac{R^2}{4}}}\Bigr) =\frac{\sigma\,z}{2\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{z^2+\tfrac{R^2}{4}}}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr).
Substituindo \sigma em função de Q dá a forma final em termos de Q. Para z\gg R, obtemos o campo de uma carga pontual:
E(z)\approx \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,z^2}.

Resposta

V(z)=\displaystyle \frac{2Q}{3\pi\varepsilon_0 R^2}\Bigl(\sqrt{z^2+R^2}-\sqrt{z^2+\tfrac{R^2}{4}}\Bigr).
Para z\gg R, V(z)\approx \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,z}. E(z)=\displaystyle \frac{2Q\,z}{3\pi\varepsilon_0 R^2}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{z^2+\tfrac{R^2}{4}}}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr),
e para z\gg R, E(z)\approx \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,z^2}.

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