Uma arruela fina tem raio externo
e interno
. Uma carga
é distribuída uniformemente na arruela. Calcule o potencial elétrico no eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao seu plano. Se a distância do ponto do eixo ao centro for muito maior que o raio da arruela, quanto vale o potencial? Calcule o campo elétrico. Considere
em
.
Passo 1
O enunciado pede o potencial elétrico
ao longo do eixo que passa pelo centro de uma arruela fina de raio interno
e externo
, com carga total
distribuída uniformemente na sua superfície. Depois, queremos o limite de
para
e o campo elétrico
nesse eixo. Vamos usar a densidade superficial
, dividir a arruela em anéis elementares e integrar para obter
, e então derivar para achar
.
Passo 2
Como a carga total é
e a área da arruela vale
a densidade superficial é
Passo 3
Considere um anel elementar de raio
e espessura
. A carga desse anel é
Todo ponto desse anel está a distância
do ponto sobre o eixo. Logo o potencial devido a esse anel é
onde usamos
.
Passo 4
Integramos
de
até
. Note que
Portanto
Passo 5
Substituindo
, obtemos
Para
, usamos a expansão
, então
Assim
ou seja, o potencial se comporta como o de uma carga pontual
.
Passo 6
O campo elétrico ao longo do eixo é
Como
, resulta
Substituindo
em função de
dá a forma final em termos de
. Para
, obtemos o campo de uma carga pontual:
Resposta
Para
e para