Um artesão deseja construir uma caixa de base retangular de volume de 18000 \mathrm{~cm}^{3} com a altura fixa de 20 cm , utilizando um único material para a sua confecção. Dentre todas as possiveis construções, qual delas será a mais barata, ou seja, aquela que possui menor área total? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede uma caixa retangular de altura fixa \,20\text{ cm} e volume \,18000\text{ cm}^3, construída com um único material. Queremos, entre todas as possíveis, aquela cuja área total seja mínima. Esse é um problema de otimização com restrição (volume constante), e vamos usar cálculo ou a desigualdade AM–GM para resolver.

Passo 2

Denotemos por x e y as dimensões da base (em cm) e por z=20 a altura. A restrição de volume é
xyz = 18000
como z=20, segue
xy = \frac{18000}{20} = 900.

Passo 3

A área total S da caixa é soma da área das duas bases e das quatro faces laterais:
S = 2(xy) + 2(x+y)\,z.
Substituindo xy=900 e z=20, obtemos
S = 2\cdot900 + 2(x+y)\cdot20 = 1800 + 40(x+y).
Como 1800 é constante, minimizar S equivale a minimizar x+y sob a condição xy=900.

Passo 4

Aplicando a desigualdade AM–GM a x e y, temos
\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} = \sqrt{900} = 30,
ou seja
x+y \ge 60,
com igualdade quando x=y. Logo, a soma x+y é mínima para
x = y = 30\text{ cm}.
Substituindo em S, a área mínima é
S_{\min} = 1800 + 40\cdot60 = 1800 + 2400 = 4200\text{ cm}^2.

Resposta

A construção mais barata é a caixa de base quadrada com lados de 30\text{ cm} e altura 20\text{ cm}, cuja área total mínima é 4200\text{ cm}^2.

Exercícios relacionados