Um artesão deseja construir uma caixa de base retangular de volume de
com a altura fixa de 20 cm , utilizando um único material para a sua confecção. Dentre todas as possiveis construções, qual delas será a mais barata, ou seja, aquela que possui menor área total? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede uma caixa retangular de altura fixa
e volume
, construída com um único material. Queremos, entre todas as possíveis, aquela cuja área total seja mínima. Esse é um problema de otimização com restrição (volume constante), e vamos usar cálculo ou a desigualdade AM–GM para resolver.
Passo 2
Denotemos por
e
as dimensões da base (em cm) e por
a altura. A restrição de volume é
como
, segue
Passo 3
A área total
da caixa é soma da área das duas bases e das quatro faces laterais:
Substituindo
e
, obtemos
Como
é constante, minimizar
equivale a minimizar
sob a condição
.
Passo 4
Aplicando a desigualdade AM–GM a
e
, temos
ou seja
com igualdade quando
. Logo, a soma
é mínima para
Substituindo em
, a área mínima é
Resposta
A construção mais barata é a caixa de base quadrada com lados de
e altura
, cuja área total mínima é
.