Considere a sequência definida pela relação de reconrência:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}=1 \\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+3}{2 x_{n}}, n \in \mathbb{N} \end{array}\right.
Sabendo que ele converge para valor positivo, encontre o seu limite.

Passo 1

O enunciado define uma sequência (x_n) por
\begin{cases} x_{1} = 1,\\\ x_{n+1} = \dfrac{x_{n}^{2} + 3}{2\,x_{n}},\quad n\in\mathbb{N}, \end{cases}
e afirma que ela converge para um valor positivo. O conteúdo envolve sequências definidas por recorrência e cálculo de limite por pontos fixos.

Passo 2

Supondo que \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = L exista e seja positivo, podemos tomar o limite na relação de recorrência. Como x_{n+1}\to L e x_n\to L, temos
L = \frac{L^2 + 3}{2\,L}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2L para eliminar o denominador, obtemos
2\,L^2 = L^2 + 3 \quad\Longrightarrow\quad L^2 = 3.

Passo 4

Dessa equação surgem duas soluções L = \sqrt{3} e L = -\sqrt{3}. Como o enunciado garante que o limite é positivo, escolhemos
L = \sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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