Uma caixa d’água de 2500 l de capacidade, inicialmente yazia, começa a ser enchida. Sabe-se que a taxa com a qual o volume varia em relação ao tempo é conhecida como vazão, e que, t horas mais tarde, o volume de água dentro do recipiente, em l, V(t), tem uma vazão, em l / h, de V^{\prime}(t)=e^{-\frac{1}{10} t}, 300 t. Faça o que se pede.
a) Encontre uma expressão analítica para o volume de água dentro da caixa, V(t).
b) Pode-se afirmar que após 5 horas a caixa d’água estará cheia? Justifique. Aproxime \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0,6.

Passo 1

O enunciado descreve uma caixa com capacidade de 2500 L, inicialmente vazia, cujo volume V(t) (em litros) varia no tempo segundo a vazão
V'(t)=e^{-t/10}+300\,t,
onde t está em horas. Queremos (a) obter uma expressão para V(t) e (b) verificar se após 5 h o volume ultrapassa 2500 L.

Passo 2

Para achar V(t) basta integrar V'(t). Temos duas parcelas:
\int e^{-t/10}\,dt=-10\,e^{-t/10}, \qquad \int 300\,t\,dt=150\,t^2.
Logo, a primitiva geral é
V(t)=150\,t^2-10\,e^{-t/10}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial V(0)=0. Substituindo t=0 em
V(0)=150\cdot0^2-10\,e^{0}+C=-10+C
e impondo V(0)=0, obtemos C=10.

Passo 4

Portanto a expressão analítica do volume é
V(t)=150\,t^2-10\,e^{-t/10}+10.

Passo 5

Para verificar em t=5 h calculamos
V(5)=150\cdot5^2-10\,e^{-5/10}+10 =150\cdot25-10\,e^{-0,5}+10 =3750-10\cdot\frac{1}{\sqrt{e}}+10.
Como \frac{1}{\sqrt{e}}\approx0,6, segue
V(5)\approx3750-10\cdot0,6+10 =3750-6+10 =3754\text{ L},
que é maior que a capacidade de 2500 L.

Resposta

(a) \displaystyle V(t)=150\,t^2-10\,e^{-t/10}+10.
(b) Sim. Em t=5 h tem-se V(5)\approx3754 L, ultrapassando os 2500 L da caixa.

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