Uma caixa d’água de
de capacidade, inicialmente yazia, começa a ser enchida. Sabe-se que a taxa com a qual o volume varia em relação ao tempo é conhecida como vazão, e que,
horas mais tarde, o volume de água dentro do recipiente, em
, tem uma vazão, em
, de
. Faça o que se pede.
a) Encontre uma expressão analítica para o volume de água dentro da caixa,
.
b) Pode-se afirmar que após 5 horas a caixa d’água estará cheia? Justifique. Aproxime
.
a) Encontre uma expressão analítica para o volume de água dentro da caixa,
b) Pode-se afirmar que após 5 horas a caixa d’água estará cheia? Justifique. Aproxime
Passo 1
O enunciado descreve uma caixa com capacidade de
L, inicialmente vazia, cujo volume
(em litros) varia no tempo segundo a vazão
onde
está em horas. Queremos (a) obter uma expressão para
e (b) verificar se após
h o volume ultrapassa
L.
Passo 2
Para achar
basta integrar
. Temos duas parcelas:
Logo, a primitiva geral é
onde
é constante de integração.
Passo 3
Usamos a condição inicial
. Substituindo
em
e impondo
, obtemos
.
Passo 4
Portanto a expressão analítica do volume é
Passo 5
Para verificar em
h calculamos
Como
, segue
que é maior que a capacidade de
L.
Resposta
(a)
(b) Sim. Em h tem-se
L, ultrapassando os
L da caixa.
(b) Sim. Em