Especificando as indeterminações envolvidas, calcule os limites abaixo pela Regra de L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sin(x)}
usando a Regra de L’Hopital. Vamos precisar verificar a forma de indeterminação e, em seguida, derivar numerador e denominador.

Passo 2

Avalia-mos numerador e denominador em x=0:
\sqrt{1+0^{2}}-1=0 e \sin(0)=0.
Logo o limite é da forma \tfrac{0}{0}, indeterminação em que podemos aplicar L’Hopital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador:
derivada de \sqrt{1+x^{2}}-1 é
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}-1\bigr) =\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},
derivada de \sin(x) é \cos(x).
Pela Regra de L’Hopital,
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sin(x)} =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{\cos(x)} =\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}\;\cos(x)}.

Passo 4

Substituindo x=0 na expressão obtida:
\frac{0}{\sqrt{1+0^{2}}\cdot\cos(0)} =\frac{0}{1\cdot1} =0.

Resposta

0

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