Considere a função f(x)=x^{2} e^{x} e a aproximação \sqrt{8} \approx 2,8. Faça o que se pede:
a) Encontre os números críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e a coordenada x dos máximos e mínimos locais de f(x).
b) Determine a coordenada x de todos os pontos de inflexão e os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.
c) Ache os máximos e minimos globais de f(x) dentro do intervalo [-3,1]. Justifique. Use e \approx 3.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=x^2e^x e pede:
a) números críticos, intervalos de crescimento/decrescimento e posições x de máximos e mínimos locais;
b) pontos de inflexão e intervalos de concavidade para cima/baixo;
c) máximos e mínimos globais em [-3,1], usando \sqrt{8}\approx2,8 e e\approx3.
Para isso vamos precisar calcular f'(x), f''(x), fazer análise de sinal e avaliar f em pontos críticos e extremos do intervalo.

Passo 2

Derivando por produto,
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^2)\,e^x + x^2\,\frac{d}{dx}(e^x) =2x\,e^x + x^2\,e^x =e^x\bigl(x^2+2x\bigr) =e^x\,x\,(x+2).
Como e^x>0, os números críticos vêm de
x\,(x+2)=0 \;\Longrightarrow\; x=-2,\;x=0.

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x)=e^x\,x\,(x+2):
  • Para x<-2: x<0 e x+2<0 \Rightarrow f'>0 (cresce).
  • Para -2<x<0: x<0, x+2>0 \Rightarrow f'<0 (decresce).
  • Para x>0: x>0, x+2>0 \Rightarrow f'>0 (cresce).
Logo
– cresce em (-\infty,-2)\cup(0,\infty),
– decresce em (-2,0).
Em x=-2 troca de + para –, então há máximo local em x=-2.
Em x=0 troca de – para +, então há mínimo local em x=0.

Passo 4

Agora a segunda derivada. Partindo de
f'(x)=e^x(x^2+2x),
f''(x)=e^x(x^2+2x)+e^x(2x+2) =e^x\bigl(x^2+4x+2\bigr).
Os pontos de inflexão satisfazem
x^2+4x+2=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{8}}{2} =-2\pm\frac{\sqrt{8}}{2}.
Como \sqrt{8}\approx2,8, temos
x_1\approx-2-\frac{2,8}{2}=-2-1,4=-3,4, \quad x_2\approx-2+1,4=-0,6.

Passo 5

Para concavidade, olhamos o sinal de f''(x)=e^x(x^2+4x+2):
– A parábola x^2+4x+2 é positiva fora do intervalo entre raízes e negativa dentro.
Portanto
\;f''>0 (côncava para cima) em (-\infty,-3,4)\cup(-0,6,\infty),
\;f''<0 (côncava para baixo) em (-3,4,-0,6).

Passo 6

Para o intervalo [-3,1] avaliamos f em x=-3,-2,0,1. Usando e\approx3:
f(-3)=9e^{-3}\approx\frac{9}{3^3}=\frac{9}{27}=0,33,
f(-2)=4e^{-2}\approx\frac{4}{3^2}=\frac{4}{9}\approx0,44,
f(0)=0^2\cdot e^0=0,
f(1)=1^2\cdot e^1\approx3.
Comparando, o menor valor é 0 em x=0 e o maior é 3 em x=1.

Resposta

a) Números críticos: x=-2,0.
Cresce em (-\infty,-2)\cup(0,\infty), decresce em (-2,0).
Máximo local em x=-2, mínimo local em x=0.
b) Pontos de inflexão em x=-2\pm\frac{\sqrt8}{2}\approx -3,4 e -0,6.
Côncava para cima em (-\infty,-3,4)\cup(-0,6,\infty), côncava para baixo em (-3,4,-0,6).
c) No intervalo [-3,1], o mínimo global é f(0)=0 em x=0 e o máximo global é f(1)\approx3 em x=1.

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