Considere a função
e a aproximação
. Faça o que se pede:
a) Encontre os números críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e a coordenada
dos máximos e mínimos locais de
.
b) Determine a coordenada
de todos os pontos de inflexão e os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.
c) Ache os máximos e minimos globais de
dentro do intervalo
. Justifique. Use
.
a) Encontre os números críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e a coordenada
b) Determine a coordenada
c) Ache os máximos e minimos globais de
Passo 1
O enunciado dá
e pede:
a) números críticos, intervalos de crescimento/decrescimento e posições de máximos e mínimos locais;
b) pontos de inflexão e intervalos de concavidade para cima/baixo;
c) máximos e mínimos globais em , usando
e
.
a) números críticos, intervalos de crescimento/decrescimento e posições
b) pontos de inflexão e intervalos de concavidade para cima/baixo;
c) máximos e mínimos globais em
Para isso vamos precisar calcular
,
, fazer análise de sinal e avaliar
em pontos críticos e extremos do intervalo.
Passo 2
Derivando por produto,
Como
, os números críticos vêm de
Passo 3
Analisando o sinal de
:
- Para
: e (cresce). - Para
: , (decresce). - Para
: , (cresce).
Logo
– cresce em ,
– decresce em .
– cresce em
– decresce em
Em
troca de
para –, então há máximo local em
.
Em troca de – para
, então há mínimo local em
.
Em
Passo 4
Agora a segunda derivada. Partindo de
Os pontos de inflexão satisfazem
Como
, temos
Passo 5
Para concavidade, olhamos o sinal de
:
– A parábola é positiva fora do intervalo entre raízes e negativa dentro.
Portanto
(côncava para cima) em
,
(côncava para baixo) em
.
– A parábola
Portanto
Passo 6
Para o intervalo
avaliamos
em
. Usando
:
Comparando, o menor valor é
em
e o maior é
em
.
Resposta
a) Números críticos:
.
Cresce em , decresce em
.
Máximo local em , mínimo local em
.
Cresce em
Máximo local em
b) Pontos de inflexão em
e
.
Côncava para cima em , côncava para baixo em
.
Côncava para cima em
c) No intervalo
, o mínimo global é
em
e o máximo global é
em
.