Arthur Bartos 10%7
a) |\vec{a}|=7,|\vec{b}|=21 \vec{a} \cdot \vec{b}=-5.
Colcule o módulo do vetor \vec{c}=3 \vec{a}+\vec{b}.

Passo 1

O enunciado fornece os módulos dos vetores \vec{a} e \vec{b} e o produto escalar entre eles:
|\vec{a}|=7,\quad |\vec{b}|=21,\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=-5
Pede-se o módulo de \vec{c}=3\vec{a}+\vec{b}. Para isso usaremos a identidade
\bigl\lVert \vec{u}+\vec{v}\bigr\rVert^2 =\lVert \vec{u}\rVert^2+\lVert \vec{v}\rVert^2+2\,\vec{u}\!\cdot\!\vec{v}.

Passo 2

Escolhendo \vec{u}=3\vec{a} e \vec{v}=\vec{b}, temos
\lVert \vec{c}\rVert^2 =\lVert 3\vec{a}\rVert^2+\lVert \vec{b}\rVert^2 +2\,(3\vec{a})\!\cdot\!\vec{b}.

Passo 3

Calculemos cada termo:
\lVert 3\vec{a}\rVert^2 = 9\,\lVert \vec{a}\rVert^2 = 9\cdot 7^2 = 9\cdot49 =441,
\lVert \vec{b}\rVert^2 = 21^2 =441,
2\,(3\vec{a})\!\cdot\!\vec{b} = 6\,(\vec{a}\cdot\vec{b}) =6\cdot(-5) = -30.

Passo 4

Somando,
\lVert \vec{c}\rVert^2 = 441 + 441 - 30 = 852.
Logo,
\lVert \vec{c}\rVert = \sqrt{852} = \sqrt{4\cdot213} =2\sqrt{213}.

Resposta

\displaystyle 2\sqrt{213}

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