Determine os autovalores e os autovetores (L.I.) correspondentes para as matrizes abaixo, e, em cada caso, determine as dimensões dos autoespaços correspondentes aos autovalores.
\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 4 & 2 \\\\ 1 & -3 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\\\ 1 & 4 & 2\\\\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}
e as dimensões dos autoespaços. O conteúdo principal é encontrar o polinômio característico de A, determinar suas raízes ( \lambda) e resolver (A-\lambda I)v=0 para cada autovalor.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
p(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix} 2-\lambda & 3 & 2\\\\ 1 & 4-\lambda & 2\\\\ 1 & -3 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão por cofactores no primeiro elemento:
p(\lambda) =(2-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}4-\lambda&2\\\ -3&1-\lambda\end{pmatrix} -3\det\!\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1-\lambda\end{pmatrix} +2\det\!\begin{pmatrix}1&4-\lambda\\\ 1&-3\end{pmatrix}.
Calculando cada menor e somando, obtemos
p(\lambda)=-\lambda^3+7\lambda^2-15\lambda+9 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^3-7\lambda^2+15\lambda-9=0.

Passo 3

Fatorando p(\lambda) por tentativa de raízes inteiras, vemos que \lambda=1 é raiz, e
\lambda^3-7\lambda^2+15\lambda-9=(\lambda-1)(\lambda^2-6\lambda+9) =(\lambda-1)(\lambda-3)^2.
Logo os autovalores são
\lambda_1=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_2=3\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} 1&3&2\\\\ 1&3&2\\\\ 1&-3&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Das equações segue x=3y e z=-3y. Tomando y=t, um auto­vetor genérico é
v_1=t\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix}.
Portanto o autoespaço de \lambda=1 tem dimensão 1.

Passo 5

Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} -1&3&2\\\\ 1&1&2\\\\ 1&-3&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Do sistema reduzido vem y=-z e x=-y-2z=-(-z)-2z=-z. Tomando z=s, um auto­vetor genérico é
v_2=s\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo o autoespaço de \lambda=3 também tem dimensão 1, ou seja, a multiplicidade geométrica é 1 (defeituoso).

Passo 6

As dimensões dos autoespaços são
\dim E_{1}=1, \qquad \dim E_{3}=1.

Resposta

Autovalores e correspondentes auto­espaços:
\lambda=1: vetor-proporcional a \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix}, dimensão do autoespaço =1.
\lambda=3: vetor-proporcional a \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}, dimensão do autoespaço =1.

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