Determine os autovalores e os autovetores (L.I.) correspondentes para as matrizes abaixo, e, em cada caso, determine as dimensões dos autoespaços correspondentes aos autovalores.
\left(\begin{array}{lll}2 & -3 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 \\\\ 1 & -3 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores linearmente independentes de
A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}
e, em cada caso, a dimensão do autoespaço correspondente. O conteúdo é Álgebra Linear: vamos montar o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e depois resolver sistemas lineares para cada \lambda.

Passo 2

Escrevendo
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & -3 & 1\\\\ 1 & -2-\lambda & 1\\\\ 1 & -3 & 2-\lambda \end{pmatrix},
calculamos o determinante por expansão de primeira linha:
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\begin{vmatrix}-2-\lambda & 1\\\ -3 & 2-\lambda\end{vmatrix} -(-3)\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 1 & 2-\lambda\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}1 & -2-\lambda\\\ 1 & -3\end{vmatrix}.
Cada menor vale
\begin{vmatrix}-2-\lambda & 1\\\ -3 & 2-\lambda\end{vmatrix} =(\!-\!2-\lambda)(2-\lambda)- (1)(-3)=\lambda^2-1,
\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 1 & 2-\lambda\end{vmatrix} =(2-\lambda)-1=1-\lambda,
\begin{vmatrix}1 & -2-\lambda\\\ 1 & -3\end{vmatrix} =-3 -(-2-\lambda)=\lambda-1.
Logo
\det(A - \lambda I) =(2-\lambda)(\lambda^2-1)+3(1-\lambda)+(\lambda-1) =-\lambda^3+2\lambda^2-\lambda =-\lambda(\lambda-1)^2.

Passo 3

Da equação \det(A - \lambda I)=0 vem
\lambda(\lambda-1)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=0\\ (\text{mul alg }1), \quad \lambda_2=1\\ (\text{mul alg }2).

Passo 4

Para \lambda=0\) resolvemos \(A x=0\), isto é o sistema \[\begin{cases} 2x-3y+z=0,\\\ x-2y+z=0,\\\ x-3y+2z=0. \end{cases}
Subtraindo 2ª de 1ª: x-y=0\implies x=y\]. Subtraindo 2ª de 3ª: \(-y+z=0\implies z=y.
Portanto
x=y=z,
e um gerador é (1,1,1). O autoespaço de \lambda=0 tem dimensão 1.

Passo 5

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)x=0, onde
A-I=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\\\ 1 & -3 & 1\\\\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
A única equação é
x-3y+z=0\quad\Longrightarrow\quad x=3y-z.
Logo o vetor geral é
(x,y,z) = (3y-z,y,z) = y\,(3,1,0) + z\,(-1,0,1).
Dessa forma, uma base do autoespaço de \lambda=1 é \{(3,1,0),\,(-1,0,1)\} e sua dimensão é 2.

Resposta

Autovalores e autoespaços:
(a) \lambda=0, autoespaço \text{span}\{(1,1,1)\}, dimensão 1.
(b) \lambda=1, autoespaço \text{span}\{(3,1,0),\,(-1,0,1)\}, dimensão 2.

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