An article in International Journal of Electrical Power & Energy Systems [“Stochastic Optimal Load Flow Using a Combined Quasi-Newton and Conjugate Gradient Technique” (1989, Vol.11(2), pp. 85-93)] considered the problem of optimal power flow in electric power systems and included the effects of uncertain variables in the problem formulation. The method treats the system power demand as a normal random variable with 0 mean and unit variance.
What is the power demand value exceeded with
probability?
What is the power demand value exceeded with
Passo 1
O enunciado dá que a demanda de potência do sistema é tratada como uma variável aleatória normal com média zero e variância unitária. Ele pergunta qual é o valor da demanda que é ultrapassado com
de probabilidade.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável aleatória da demanda é
(normal padrão: média , variância ). - Queremos o valor
tal que a probabilidade de a demanda ser maior que seja , isto é .
Passo 2
Vamos traduzir matematicamente o que o problema pede. A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é denotada por
, onde
A condição
pode ser escrita usando
porque
. Portanto a equação que precisamos resolver é
Passo 3
Isolando
obtemos
Logo
é o quantil de ordem
da normal padrão, isto é
Aqui
é a função quantil (inversa da CDF): dado um valor
em
,
é o número
tal que
.
Passo 4
Para calcular
usamos a simetria da normal padrão. Sabemos que, para
,
Queremos
. Isso implica que
. Assim
O valor padrão
é aproximadamente
(tabela da normal padrão ou calculadora). Portanto
Passo 5
Interpretação (útil para a prova): isso significa que, para a variável
, existe
de chance de
ser maior que
. Em outras palavras, o valor que a demanda ultrapassa com
de probabilidade é
. Pode parecer estranho ter um valor negativo — isso acontece porque a variável foi centrada em zero (média
); em aplicações reais esse
pode representar um desvio em relação a alguma referência. Mas matematicamente o quantil pedido é esse.