An article in International Journal of Electrical Power & Energy Systems [“Stochastic Optimal Load Flow Using a Combined Quasi-Newton and Conjugate Gradient Technique” (1989, Vol.11(2), pp. 85-93)] considered the problem of optimal power flow in electric power systems and included the effects of uncertain variables in the problem formulation. The method treats the system power demand as a normal random variable with 0 mean and unit variance.
What is the power demand value exceeded with 95 \% probability?

Passo 1

O enunciado dá que a demanda de potência do sistema é tratada como uma variável aleatória normal com média zero e variância unitária. Ele pergunta qual é o valor da demanda que é ultrapassado com 95\% de probabilidade.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável aleatória da demanda é \,X\sim N(0,1)\, (normal padrão: média 0, variância 1).
  • Queremos o valor q tal que a probabilidade de a demanda ser maior que q seja 95\%, isto é \,P(X>q)=0,95.

Passo 2

Vamos traduzir matematicamente o que o problema pede. A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é denotada por \Phi(\cdot), onde
\Phi(x)=P(X\le x).
A condição \,P(X>q)=0,95 pode ser escrita usando \Phi porque P(X>q)=1-P(X\le q)=1-\Phi(q). Portanto a equação que precisamos resolver é
1-\Phi(q)=0,95.

Passo 3

Isolando \Phi(q) obtemos
\Phi(q)=1-0,95=0,05.
Logo q é o quantil de ordem 0,05 da normal padrão, isto é
q=\Phi^{-1}(0,05).
Aqui \Phi^{-1} é a função quantil (inversa da CDF): dado um valor p em (0,1), \Phi^{-1}(p) é o número x tal que \Phi(x)=p.

Passo 4

Para calcular \Phi^{-1}(0,05) usamos a simetria da normal padrão. Sabemos que, para a>0,
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Queremos \Phi(q)=0,05. Isso implica que \Phi(-q)=1-0,05=0,95. Assim
\Phi(q)=0,05\quad\Longrightarrow\quad q=-\Phi^{-1}(0,95).
O valor padrão \Phi^{-1}(0,95) é aproximadamente 1,645 (tabela da normal padrão ou calculadora). Portanto
q\approx -1,645.

Passo 5

Interpretação (útil para a prova): isso significa que, para a variável X\sim N(0,1), existe 95\% de chance de X ser maior que -1,645. Em outras palavras, o valor que a demanda ultrapassa com 95\% de probabilidade é -1,645. Pode parecer estranho ter um valor negativo — isso acontece porque a variável foi centrada em zero (média 0); em aplicações reais esse X pode representar um desvio em relação a alguma referência. Mas matematicamente o quantil pedido é esse.

Resposta

-1,645

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