The life of a semiconductor laser at a constant power is normally distributed with a mean of 7000 hours and a standard deviation of 600 hours.
If three lasers are used in a product and they are assumed to fail independently, what is the probability that all three are still operating after 7000 hours?

Passo 1

O problema pede a probabilidade de que três lasers, usados em um produto, ainda estejam funcionando após 7000 horas. As informações dadas são:
  • A vida útil de um laser segue uma distribuição normal com média \mu = 7000 horas e desvio padrão \sigma = 600 horas.
  • São usados 3 lasers e as falhas são independentes entre si.
  • Precisamos calcular a probabilidade de que todos os três estejam operando em 7000 horas (ou seja, cada um tem vida maior que 7000 horas).

Passo 2

Estratégia geral (apenas descrição do que vamos calcular):
  • Primeiro vamos calcular a probabilidade de um único laser ainda estar operando após 7000 horas, isto é a probabilidade \mathbb{P}(X>7000) onde X é a vida do laser.
  • Como as falhas são independentes, a probabilidade de os três estarem operando é o produto das probabilidades individuais: \big(\mathbb{P}(X>7000)\big)^3.
    Agora vamos ao cálculo passo a passo.

Passo 3

Calcular a probabilidade de um laser sobreviver além de 7000 horas.
  • Definimos X como a vida do laser, com \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)=\mathcal{N}(7000,600^2).
  • A probabilidade pedida para um único laser é \mathbb{P}(X>7000).
  • Para trabalhar com a normal, usamos a padronização: definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média da distribuição (aqui \mu=7000) e \sigma é o desvio padrão (aqui \sigma=600). A variável Z tem distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1).

Passo 4

Aplicando a padronização ao ponto 7000:
z = \frac{7000-7000}{600} = \frac{0}{600} = 0.
Portanto
\mathbb{P}(X>7000)=\mathbb{P}\!\left(Z>0\right).
Sabemos que a função de distribuição da normal padrão \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z) satisfaz \Phi(0)=0,5 por simetria da normal em torno de zero. Então
\mathbb{P}(Z>0)=1-\Phi(0)=1-0,5=0,5.

Passo 5

Interpretação: um valor de z=0 significa que 7000 horas é exatamente a média; para uma normal a chance de exceder a média é 50\%. Logo a probabilidade de um único laser ainda estar funcionando após 7000 horas é \mathbb{P}(X>7000)=0,5.

Passo 6

Usar independência para os três lasers:
  • Se A é o evento “laser 1 funciona após 7000 h”, B o evento “laser 2 funciona…” e C o evento para o terceiro, e eles são independentes, então
\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(B)\,\mathbb{P}\text{(C)}.
  • Como cada um tem probabilidade 0,5, temos
\mathbb{P}(\text{os 3 funcionam em }7000\text{ h})=(0,5)^3=0,125.

Resposta

0,125

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