The life of a semiconductor laser at a constant power is normally distributed with a mean of 7000 hours and a standard deviation of 600 hours.
If three lasers are used in a product and they are assumed to fail independently, what is the probability that all three are still operating after 7000 hours?
If three lasers are used in a product and they are assumed to fail independently, what is the probability that all three are still operating after 7000 hours?
Passo 1
O problema pede a probabilidade de que três lasers, usados em um produto, ainda estejam funcionando após
horas. As informações dadas são:
- A vida útil de um laser segue uma distribuição normal com média
horas e desvio padrão horas. - São usados
lasers e as falhas são independentes entre si. - Precisamos calcular a probabilidade de que todos os três estejam operando em
horas (ou seja, cada um tem vida maior que horas).
Passo 2
Estratégia geral (apenas descrição do que vamos calcular):
- Primeiro vamos calcular a probabilidade de um único laser ainda estar operando após
horas, isto é a probabilidade onde é a vida do laser. - Como as falhas são independentes, a probabilidade de os três estarem operando é o produto das probabilidades individuais:
.
Agora vamos ao cálculo passo a passo.
Passo 3
Calcular a probabilidade de um laser sobreviver além de
horas.
- Definimos
como a vida do laser, com . - A probabilidade pedida para um único laser é
. - Para trabalhar com a normal, usamos a padronização: definimos a variável padrão
onde
é a média da distribuição (aqui
) e
é o desvio padrão (aqui
). A variável
tem distribuição normal padrão
.
Passo 4
Aplicando a padronização ao ponto
:
Portanto
Sabemos que a função de distribuição da normal padrão
satisfaz
por simetria da normal em torno de zero. Então
Passo 5
Interpretação: um valor de
significa que
horas é exatamente a média; para uma normal a chance de exceder a média é
. Logo a probabilidade de um único laser ainda estar funcionando após
horas é
.
Passo 6
Usar independência para os três lasers:
- Se
é o evento “laser 1 funciona após h”, o evento “laser 2 funciona…” e o evento para o terceiro, e eles são independentes, então
- Como cada um tem probabilidade
, temos