The life of a semiconductor laser at a constant power is normally distributed with a mean of 7000 hours and a standard deviation of 600 hours.
What is the life in hours that
of the lasers exceed?
What is the life in hours that
Passo 1
O enunciado dá que a vida de um laser segue uma distribuição normal com média
horas e desvio padrão
horas.
A pergunta é: qual é o tempo em horas que dos lasers excedem? Ou seja, queremos o valor
tal que
A pergunta é: qual é o tempo em horas que
Informações relevantes:
,
, e a probabilidade desejada é
.
Passo 2
Entendendo o que precisamos fazer (passo didático): para uma variável normal
usamos a padronização para trabalhar com a normal padrão
. A padronização é a fórmula
onde
mede quantos desvios-padrão
está distante da média. Para encontrar
tal que
reescrevemos em termos de
:
Usamos a relação entre cauda superior e cauda inferior da normal:
é equivalente a
. Portanto precisamos o quantil inferior
tal que
Passo 3
Encontrando o valor de
: o quantil de probabilidade
para a normal padrão é aproximadamente
. (Explicação: tabelas de
ou a função inversa da normal padrão dão
com
; é negativo porque
está na cauda à esquerda da média.) Então
Passo 4
Isolando
e fazendo as contas passo a passo:
Substituindo
,
e
:
Calculemos
:
Como o sinal de
é negativo, temos
. Portanto
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida:
horas significa que
dos lasers duram pelo menos aproximadamente
horas (ou seja, só
falham antes disso). Checagem: padronizando
obtemos
, que corresponde à cauda esquerda
, então a cauda direita é
como pedido — está consistente.