The life of a semiconductor laser at a constant power is normally distributed with a mean of 7000 hours and a standard deviation of 600 hours.
What is the life in hours that 95 \% of the lasers exceed?

Passo 1

O enunciado dá que a vida de um laser segue uma distribuição normal com média \mu=7000 horas e desvio padrão \sigma=600 horas.
A pergunta é: qual é o tempo em horas que 95\% dos lasers excedem? Ou seja, queremos o valor x tal que
P(X \ge x)=0,95.
Informações relevantes: \mu=7000, \sigma=600, e a probabilidade desejada é 95\%.

Passo 2

Entendendo o que precisamos fazer (passo didático): para uma variável normal X\sim N(\mu,\sigma) usamos a padronização para trabalhar com a normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização é a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z mede quantos desvios-padrão X está distante da média. Para encontrar x tal que P(X\ge x)=0,95 reescrevemos em termos de Z:
P(X\ge x)=0,95 \quad\Longleftrightarrow\quad P\!\left(Z\ge\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,95.
Usamos a relação entre cauda superior e cauda inferior da normal: P(Z\ge z)=0,95 é equivalente a P(Z<z)=0,05. Portanto precisamos o quantil inferior z tal que
P(Z<z)=0,05.

Passo 3

Encontrando o valor de z: o quantil de probabilidade 0,05 para a normal padrão é aproximadamente z=-1{,}645. (Explicação: tabelas de Z ou a função inversa da normal padrão dão z com P(Z<z)=0{,}05; é negativo porque 0{,}05 está na cauda à esquerda da média.) Então
\frac{x-\mu}{\sigma}=z=-1{,}645.

Passo 4

Isolando x e fazendo as contas passo a passo:
x=\mu+z\cdot\sigma.
Substituindo \mu=7000, z=-1{,}645 e \sigma=600:
x=7000+(-1{,}645)\cdot 600.
Calculemos (-1{,}645)\cdot 600:
1{,}645\times 600 = 1{,}645\times (6\times 100)= (1{,}645\times 6)\times 100 = 9{,}87\times 100 = 987.
Como o sinal de z é negativo, temos (-1{,}645)\cdot 600=-987. Portanto
x=7000-987=6013.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: x\approx6013 horas significa que 95\% dos lasers duram pelo menos aproximadamente 6013 horas (ou seja, só 5\% falham antes disso). Checagem: padronizando 6013 obtemos \dfrac{6013-7000}{600}=-1{,}645, que corresponde à cauda esquerda 0{,}05, então a cauda direita é 0{,}95 como pedido — está consistente.

Resposta

6013 horas.

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