Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham uma função densidade de probabilidade conjunta
para
e
e
, caso contrário. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função densidade conjunta
e
caso contrário. A pergunta é: calcular a probabilidade
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A densidade conjunta vale
dentro do quadrado . - Queremos a probabilidade do evento em que
e estão ambos menores que .
Passo 2
Conceito chave (aula rápida): para variáveis contínuas com densidade conjunta
, a probabilidade de que
esteja em uma região
do plano é dada pela integral dupla
No nosso caso a região
é o quadrado
. Então basta integrar
sobre esse quadrado.
Passo 3
Montando a integral dupla com limites apropriados:
Explicando os limites: como queremos
e
, os limites internos e externos são de
a
.
Passo 4
Calcule a integral interna (integração em
, tratando
como constante):
Agora avalia:
logo
Passo 5
Agora integramos em
:
Avalia:
portanto
Passo 6
Comentário didático extra (atalho útil para a prova): observe que a densidade factoriza:
Isso mostra que
e
são independentes e as densidades marginais são
e
para
. Então
Cálculo rápido de cada uma:
logo o produto é
, mesmo resultado obtido pela integral dupla. Esse caminho costuma ser mais rápido em prova quando a densidade factoriza.