Suponha que as variáveis aleatórias X e Y tenham uma função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)=4 x y para 0<x<1 e 0<y<1 e f(x, y)=0, caso contrário. Calcule P(X<0,5, Y<0,5).

Passo 1

O enunciado dá a função densidade conjunta
f(x,y)=4xy\quad\text{para}\quad 0<x<1,\;0<y<1,
e f(x,y)=0 caso contrário. A pergunta é: calcular a probabilidade
P(X<0,5,\;Y<0,5).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade conjunta vale 4xy dentro do quadrado (0,1)\times(0,1).
  • Queremos a probabilidade do evento em que X e Y estão ambos menores que \,0,5.

Passo 2

Conceito chave (aula rápida): para variáveis contínuas com densidade conjunta f(x,y), a probabilidade de que (X,Y) esteja em uma região A do plano é dada pela integral dupla
P\big((X,Y)\in A\big)=\iint_{A} f(x,y)\,dx\,dy.
No nosso caso a região A é o quadrado \{(x,y):0<x<0,5,\;0<y<0,5\}. Então basta integrar f sobre esse quadrado.

Passo 3

Montando a integral dupla com limites apropriados:
P(X<0,5,\;Y<0,5)=\int_{x=0}^{0,5}\int_{y=0}^{0,5} 4xy\,dy\,dx.
Explicando os limites: como queremos 0<x<0,5 e 0<y<0,5, os limites internos e externos são de 0 a 0,5.

Passo 4

Calcule a integral interna (integração em y, tratando x como constante):
\int_{y=0}^{0,5} 4xy\,dy = 4x\int_{0}^{0,5} y\,dy = 4x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{0,5}.
Agora avalia:
\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{0,5}=\frac{(0,5)^{2}}{2}=\frac{0,25}{2}=0,125,
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\int_{y=0}^{0,5} 4xy\,dy = 4x\cdot 0,125 = 0,5x.

Passo 5

Agora integramos em x:
P(X<0,5,\;Y<0,5)=\int_{x=0}^{0,5} 0,5x\,dx = 0,5\int_{0}^{0,5} x\,dx = 0,5\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{0,5}.
Avalia:
\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{0,5}=\frac{(0,5)^{2}}{2}=\frac{0,25}{2}=0,125,
portanto
P(X<0,5,\;Y<0,5)=0,5\cdot 0,125 = 0,0625.

Passo 6

Comentário didático extra (atalho útil para a prova): observe que a densidade factoriza:
f(x,y)=4xy=(2x)(2y).
Isso mostra que X e Y são independentes e as densidades marginais são f_X(x)=2x e f_Y(y)=2y para 0<x,y<1. Então
P(X<0,5,\;Y<0,5)=P(X<0,5)\,P(Y<0,5).
Cálculo rápido de cada uma:
P(X<0,5)=\int_{0}^{0,5}2x\,dx=\left[x^{2}\right]_{0}^{0,5}=(0,5)^{2}=0,25,
logo o produto é 0,25\cdot 0,25=0,0625, mesmo resultado obtido pela integral dupla. Esse caminho costuma ser mais rápido em prova quando a densidade factoriza.

Resposta

\dfrac{1}{16}=0,0625

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