Um artigo no Journal of Environmental Engineering (vol. 115, n. ^9 3, 1989, p. 608-619) reportou os resultados de um estudo a respeito da ocorrência de sódio e cloreto nas correntes superficiais de um rio na parte central de Rhode Island. Os dados a seguir se referem à concentração de cloreto (em miligramas por litro), y, e a área (em %) das encostas exploradas para análise, x (em porcentagem). Obtenha:
(a) A covariância amostral. Interprete.
(b) Assuma que a relação é linear. Qual o valor do coeficiente de correlação momentoproduto de Pearson? Interprete.
& y=[cccccc 4.4 & 6.6 & 9.7 & 10.6 & 10.8 & 10.9 11.8 & 12.1 & 14.3 & 14.7 & 15.0 & 17.3 19.2 & 23.1 & 27.4 & 27.7 & 31.8 & 39.5 ] & x=[cccccc 0.19 & 0.15 & 0.57 & 0.70 & 0.67 & 0.63 0.47 & 0.70 & 0.60 & 0.78 & 0.81 & 0.78 0.69 & 1.30 & 1.05 & 1.06 & 1.74 & 1.62 ]
Fonte: Montgomery, D. C.; Runger, G. C.; Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros, 4^a ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

Passo 1

O enunciado nos dá n=18 observações pareadas de concentração de cloreto y (mg/L) e área explorada x (% em forma de fração), e pede:
(a) a covariância amostral entre x e y;
(b) o coeficiente de correlação de Pearson, assumindo relação linear.
O conteúdo aqui é estatística descritiva: média, covariância e correlação amostral.

Passo 2

Calcular as médias amostrais
bar x = 118sumi=1^18xi, bar y = 118sumi=1^18yi
Somando os xi obtemos sum xi=14,51, logo
bar x = 14,5118approx0,8061
Somando os yi obtemos sum yi=306,9, logo
bar y = 306,918=17,05

Passo 3

Calcular a covariância amostral
Cov(x,y) =1n-1sumi=1^n(xi-bar x)(yi-bar y) =sum xi yi - n,bar x,bar yn-1
Computamos sum xi yiapprox309,316 e n,bar x,bar y=18cdot0,8061cdot17,05approx247,392.
Logo
sum (xi-bar x)(yi-bar y) =309,316-247,392=61,924,
e
Cov(x,y) =61,92417approx3,6426

Passo 4

Interpretar a covariância e calcular o coeficiente de correlação
A covariância positiva indica que, em média, x e y aumentam juntos.
Para obter o coeficiente de correlação de Pearson, precisamos dos desvios-padrão amostrais
sx = raizsum(xi-bar x)^2n-1, sy = raizsum(yi-bar y)^2n-1
Calculamos
sum(xi-bar x)^2approx3,0109 e sum(yi-bar y)^2approx1,494,485.
Então
sx = raiz3,010917approx0,4213, sy = raiz1,494,48517approx9,3787
O coeficiente de correlação é
r = Cov(x,y)sx,sy approx3,64260,4213cdot9,3787approx0,922

Passo 5

Interpretar r: como rapprox0,92 e está próximo de 1, há uma forte correlação linear positiva entre área explorada x e concentração de cloreto y.

Resposta

(a) Cov(x,y)approx3,64. Isso indica que, em média, aumentos em x acompanham aumentos em y.
(b) rapprox0,92. Há correlação linear forte e positiva entre x e y.

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