Um artigo manufaturado que não pode ser usado se for defeituoso, deve passar por duas inspeções antes de receber embalagem. A experiência mostra que um dos inspetores deixará passar 5 % dos defeituosos, ao passo que o segundo inspetor deixará passar 4 % dos tais artigos. Se os artigos sem defeito sempre passam pela inspeção e se 10 % dos artigos processados são defeituosos, que percentagem dos artigos que passaram pelas duas inspeções são defeituosos? Resp.: 0,02 %.

Passo 1

O enunciado pede a porcentagem de artigos defeituosos entre aqueles que passaram pelas duas inspeções. O assunto aqui é probabilidade condicional e o Teorema de Bayes, pois queremos
P(D mid P1cap P2),
isto é, a probabilidade de o artigo ser defeituoso ( D) dado que passou pela inspeção 1 ( P1) e pela inspeção 2 ( P2).

Passo 2

Definimos os eventos e probabilidades conhecidas:
D: artigo é defeituoso, com P(D)=0,10.
D^c: artigo não defeituoso, com P(D^c)=0,90.
P1: passa na inspeção 1, onde
P(P1 mid D)=0,05, P(P1 mid D^c)=1
P2: passa na inspeção 2, onde
P(P2 mid D)=0,04, P(P2 mid D^c)=1

Passo 3

Como as inspeções são sequenciais e independentes quanto à passagem do defeituoso, temos
P(P1cap P2 mid D) = P(P1mid D),P(P2mid D) = 0,05 times 0,04 = 0,002
E para artigos não defeituosos, passam sempre:
P(P1cap P2 mid D^c)=1cdot1=1

Passo 4

Aplicando a lei da probabilidade total, a probabilidade de um artigo qualquer passar nas duas inspeções é
P(P1cap P2) = P(D),P(P1cap P2 mid D) + P(D^c),P(P1cap P2 mid D^c) = 0,10cdot0,002 + 0,90cdot1 = 0,0002 + 0,90 = 0,9002

Passo 5

Agora usamos Bayes para encontrar
P(D mid P1cap P2) = P(D),P(P1cap P2 mid D)P(P1cap P2) = 0,10 times 0,0020,9002 approx 0,0002222
Convertendo para porcentagem, multiplicamos por 100%:
0,0002222 times 100% approx 0,0222%approx0,02%

Resposta

A porcentagem de artigos defeituosos entre os que passaram pelas duas inspeções é aproximadamente 0,02%.

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