Um artigo publicado no Journal of National Cancer Institute (Breast Cancer Screening Policies in Developing Countries: A Cost-Effectiveness Analysis for India, 2008, Vol. 100(18), pp. 1290-1300) apresentou um modelo de análise exploratória de câncer de mama, baseado em dados da Índia. Nessa análise, o tempo no qual o caso de câncer de mama permanece em um estado pré-clínico é modelado por uma distribuição exponencial, com uma média dependente do estado. Por exemplo, o tempo em que um caso de câncer permanece no estado de T1C (tamanho do tumor de 11 a 20 mm ) é distribuído exponencialmente, com uma média de 1,48 ano.
Qual é a probabilidade de que um caso de câncer de mama na Índia permaneça no estado de T1C por mais de dois anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo que um caso de câncer de mama na Índia fica no estado T1C antes de ser detectado. Esse tempo segue uma distribuição exponencial com uma média de 1,48 ano. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de esse tempo ser maior que dois anos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A fórmula da função de sobrevivência (probabilidade de o tempo ser maior que um valor específico) é:
P(T > t) = e^-lambda t
Onde:
  • $ \lambda $ é a taxa da distribuição.
  • $ t $ é o tempo que queremos avaliar.

Passo 3

Sabemos que a média ($ \mu $) da distribuição exponencial é igual a $ \frac{1}{\lambda} $. Então, podemos calcular $ \lambda $ usando a média fornecida:
mu
Substituindo $ \mu = 1,48 $ anos:
1lambda

Passo 4

Agora que temos $ \lambda lambda t = 2 $):
t = 2

Passo 5

Vamos calcular o valor de $ e^{-1,3514} $. Usando uma calculadora:
e^-1,3514

Resposta

A probabilidade de que um caso de câncer de mama na Índia permaneça no estado de T1C por mais de dois anos é de aproximadamente 25,9%.

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