Seja a variável aleatória contínua X com função densidade de probabilidade definida por:
f(x)= 24 x-3 x^2256, & se 0á
Determine a função de distribuição acumulada (f.d.a.) F(x), considerando sua definição para os intervalos relevantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por:
X á
O nosso objetivo aqui é encontrar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) $ F(x) $. Para isso, vamos precisar entender como a f.d.a. é construída a partir da f.d.p.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (f.d.a.). A f.d.a. $ F(x) $ nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Matematicamente, isso é representado por:
F(x)
Para variáveis contínuas, a f.d.a. é obtida integrando a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de menos infinito até $ x $:
X

Passo 3

Vamos analisar as diferentes faixas de $ x $ para calcular $ F(x) $:
  1. Quando $ x < 0 $:
    Aqui, como a f.d.p. $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $, a probabilidade acumulada também será zero. Ou seja,
    x
  2. Quando $ 0 \leq x \leq 8 $:
    Neste intervalo, a f.d.p. é $ \frac{24x - 3x^{2}}{256} $. Vamos integrar essa função de 0 até $ x $:
    F(x)
    Para resolver a integral, vamos integrar termo a termo:
    x < 0
    Agora, aplicando os limites de 0 a $ x $:
    f(x) = 0
  3. Quando $ x > 8 $:
    Para $ x $ maior que 8, a probabilidade acumulada atinge o valor máximo de 1, já que toda a área sob a f.d.p. deve ser igual a 1.
    x < 0

Resposta

A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é dada por:
F(x)

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