Considere que a variável aleatória contínua X seja descrita pela seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.):
f(x)= 0,5 cos (x), & se -pi2á
Com base nessa definição, resolva os itens a seguir:
Calcule P(X<-pi / 4), utilizando a definição de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua X com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por:
f(x)= 0,5 cos (x), & se -pi2á
Queremos calcular a probabilidade de que X seja menor que -pi/4, ou seja, P(X<-pi / 4). Para isso, vamos usar a definição de probabilidade para variáveis contínuas, que envolve integrar a função densidade no intervalo de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar P(a < X < b) em uma variável contínua, calculamos a integral da f.d.p. de a até b. No nosso caso, queremos P(X < -pi/4), o que equivale a integrar de -pi2 (limite inferior onde a f.d.p. é diferente de zero) até -pi4.

Passo 3

A integral que precisamos calcular é:
P(X < -pi4) = integral-pi2^-pi4 0,5 cos(x) , dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de cos(x) em relação a x é sin(x). Então:
integral-pi2^-pi4 0,5 cos(x) , dx = 0,5 [ sin(x) ]-pi2^-pi4

Passo 5

Agora, substituímos os limites na função antiderivada:
0,5 [ sin(-pi4) - sin(-pi2) ]
Sabemos que sin(-theta) = -sin(theta), então:
0,5 [ -sin(pi4) - (-sin(pi2)) ] = 0,5 [ -raiz22 + 1 ]

Passo 6

Simplificando a expressão:
0,5 (1 - raiz22) = 12 (2 - raiz22) = 2 - raiz24

Resposta

A probabilidade P(X < -pi4) é igual a dfrac2 - raiz24.

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