Um artigo reportou dados sobre um experimento, investigando o efeito de muitas variáveis de processos de oxidação, em fase vapor, de naftaleno. Uma amostra de conversão percentual molar de naftaleno em anidrido maléico resulta em:
\begin{array}{lllllllllllllll} 4,2 & 5,0 & 3,0 & 4,0 & 5,2 & 4,5 & 2,0 & 2,8 & 3,3 & 4,8 & 5,0 & 4,8 & 5,0 & 4,4 & 5,0 \end{array}
a) Encontre a média, a mediana e a moda;
b) Encontre o 450 percentil e interprete-o;
c) Organize os dados em uma tabela de frequências adequada, utiliza a fórmula de sturges.
d) Encontre a média, a mediana e a moda para dados agrupados.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=15 valores de conversão molar de naftaleno em anidrido maléico e pede:
– (a) média, mediana e moda dos dados brutos;
– (b) o “450 percentil” (interpreto como o 45.º percentil) e sua interpretação;
– (c) organizar os dados em tabela de frequências pelo critério de Sturges;
– (d) calcular média, mediana e moda para os dados agrupados.
Vamos usar conceitos de estatística descritiva (média aritmética, quartis/percentis, tabela de classes via k=1+\log_2 n, e fórmulas de estatística para dados agrupados).

Passo 2

Calcular média, mediana e moda dos dados brutos.
Ordenando os 15 valores:
2,0,\;2,8,\;3,0,\;3,3,\;4,0,\;4,2,\;4,4,\;4,5,\;4,8,\;4,8,\;5,0,\;5,0,\;5,0,\;5,0,\;5,2.
– Soma dos valores:
\sum x_i = 2,0+2,8+3,0+3,3+4,0+4,2+4,4+4,5+4,8+4,8+5,0+5,0+5,0+5,0+5,2 = 63,0.
– Média aritmética:
\bar x = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{63,0}{15} = 4,20.
– Mediana ( n ímpar): é o valor central, posição \tfrac{n+1}{2}=8. Da lista ordenada, o 8.º é 4,5.
– Moda: valor que mais se repete; 5,0 aparece 4 vezes (é a moda).

Passo 3

Calcular o 45.º percentil ( P_{45}).
Posição i = \frac{45}{100}(n+1) = 0,45\cdot16 = 7{,}2.
Entre o 7.º e o 8.º valores ordenados: x_{(7)}=4,4 e x_{(8)}=4,5.
Interpolando:
P_{45} = x_{(7)} + 0{,}2\,(x_{(8)} - x_{(7)}) = 4,4 + 0{,}2\,(4,5-4,4) = 4,42.
Interpretação: cerca de 45 % das observações estão abaixo de 4,42.

Passo 4

Montar a tabela de classes pelo critério de Sturges:
k = 1 + \log_2 15 \approx 1 + 3,91 \approx 4,91, adota-se k=5 classes.
Amplitude total: A = 5,2 - 2,0 = 3,2.
Largura de classe h = A/k = 3,2/5 = 0,64.
Classes (iniciando em 2,00):
[2,00;2,64),\;[2,64;3,28),\;[3,28;3,92),\;[3,92;4,56),\;[4,56;5,20].
Contagem de frequências e marcos x_i:
Classe [2,00;2,64): f=1,\;x_i=2,32
Classe [2,64;3,28): f=2,\;x_i=2,96
Classe [3,28;3,92): f=1,\;x_i=3,60
Classe [3,92;4,56): f=4,\;x_i=4,24
Classe [4,56;5,20]: f=7,\;x_i=4,88

Passo 5

Calcular média, mediana e moda para dados agrupados.
– Média agrupada:
\bar x_g = \frac{\sum f_i\,x_i}{n} = \frac{1\cdot2,32 + 2\cdot2,96 + 1\cdot3,60 + 4\cdot4,24 + 7\cdot4,88}{15} = \frac{62,96}{15} = 4,20.
– Mediana agrupada: classe mediana é onde atinge n/2=7,5, é a 4.ª classe [3,92;4,56).
Usa-se
\text{Med}_g = L + \frac{\tfrac{n}{2} - F_{ac-}}{f_m}\,h = 3{,}92 + \frac{7,5 - 4}{4}\,0{,}64 = 3{,}92 + 0{,}56 = 4,48.
– Moda agrupada: classe modal é a de maior frequência ( f=7, última classe).
\text{Mo}_g = L + \frac{f_m - f_{-}}{2f_m - f_{-} - f_{+}}\,h = 4{,}56 + \frac{7 - 4}{2\cdot7 - 4 - 0}\,0{,}64 = 4{,}56 + \frac{3}{10}\,0{,}64 = 4{,}75.

Resposta

a) Média = 4,20; Mediana = 4,5; Moda = 5,0
b) P_{45}=4,42. Interpretação: 45 % dos valores ficam abaixo de 4,42.
c) Tabela de frequência (Sturges, k=5, h=0,64)
Classe [2,00;2,64): f=1,\;x_i=2,32
Classe [2,64;3,28): f=2,\;x_i=2,96
Classe [3,28;3,92): f=1,\;x_i=3,60
Classe [3,92;4,56): f=4,\;x_i=4,24
Classe [4,56;5,20]: f=7,\;x_i=4,88
d) Dados agrupados: Média = 4,20; Mediana = 4,48; Moda = 4,75

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