Seja
uma amostra aleatória da variável aleatória
com função densidade de probabilidade dada por
Mostre que a função densidade de probabilidade pertence à família exponencial (considere a amostra aleatória).
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra aleatória
com densidade
e pede para mostrar que a família de densidades dessa amostra pertence à família exponencial.
Para isso, vamos (i) escrever a densidade conjunta (ver conceito de verossimilhança) e (ii) reescrevê-la na forma
Para isso, vamos (i) escrever a densidade conjunta (ver conceito de verossimilhança) e (ii) reescrevê-la na forma
Passo 2
A densidade conjunta (função de verossimilhança) é
Passo 3
Reescrevendo em forma exponencial, note que
logo
Também podemos escrever
. Portanto
Passo 4
Agora identificamos as partes da forma canônica
Podemos escolher por exemplo:
ou, de modo equivalente agrupando termos em
,
Dessa forma, a verossimilhança assume a forma exponencial em função de
.
Resposta
A família de densidades é de fato uma família exponencial de parâmetro natural
e estatística suficiente
.