Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória da variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por
f(x \mid \theta)=\theta x^{\theta-1}, 0<x<1, \theta>0
Mostre que a função densidade de probabilidade pertence à família exponencial (considere a amostra aleatória).

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} com densidade
f(x\mid\theta)=\theta\,x^{\theta-1},\quad 0<x<1,\;\theta>0
e pede para mostrar que a família de densidades dessa amostra pertence à família exponencial.
Para isso, vamos (i) escrever a densidade conjunta (ver conceito de verossimilhança) e (ii) reescrevê-la na forma
h(\mathbf{x})\exp\bigl(\eta(\theta)\,T(\mathbf{x})-A(\theta)\bigr).

Passo 2

A densidade conjunta (função de verossimilhança) é
L(\theta;\mathbf{x}) =\prod_{i=1}^{n}f(x_{i}\mid\theta) =\prod_{i=1}^{n}\bigl[\theta\,x_{i}^{\theta-1}\bigr] =\theta^{n}\,\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\theta-1}.

Passo 3

Reescrevendo em forma exponencial, note que
\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\theta-1} =\exp\Bigl((\theta-1)\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}\Bigr),
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L(\theta;\mathbf{x}) =\theta^{n}\,\exp\Bigl((\theta-1)\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}\Bigr).
Também podemos escrever \theta^{n}=\exp\bigl(n\ln\theta\bigr). Portanto
L(\theta;\mathbf{x}) =\exp\Bigl(n\ln\theta+(\theta-1)\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}\Bigr).

Passo 4

Agora identificamos as partes da forma canônica
h(\mathbf{x})\,\exp\bigl(\eta(\theta)\,T(\mathbf{x})-A(\theta)\bigr).
Podemos escolher por exemplo:
h(\mathbf{x}) =\exp\Bigl(-\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}\Bigr) =\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{-1},
T(\mathbf{x}) =\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}, \quad \eta(\theta)=\theta, \quad A(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}-n\ln\theta,
ou, de modo equivalente agrupando termos em \theta,
\eta(\theta)=\theta-1, \quad T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}, \quad A(\theta)=-n\ln\theta.
Dessa forma, a verossimilhança assume a forma exponencial em função de T(\mathbf{x}).

Resposta

A família de densidades é de fato uma família exponencial de parâmetro natural \eta(\theta)=\theta-1 e estatística suficiente T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}.

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