Dois dados equilibrados são lançados.
a) Defina o espaço amostral
b) Calcule a probabilidade de sair seis em pelo menos um dado
c) Sabendo-se que saíram faces diferentes nos dois dados, determine a probabilidade de sair s. pelo menos um dado
d) Os eventos “seis em pelo menos um dado” e “faces diferentes nos dois dados” são independe

Passo 1

No enunciado lançamos dois dados equilibrados e precisamos:
– Definir o espaço amostral.
– Calcular a probabilidade de sair pelo menos um seis.
– Calcular a probabilidade condicional de sair pelo menos um seis sabendo que as faces são diferentes.
– Verificar a independência dos eventos.
Para isso usaremos contagem de resultados em espaço amostral uniforme, probabilidade condicional e definição de independência.

Passo 2

O espaço amostral \Omega é o conjunto de todos os pares ordenados possíveis nos dois dados, cada um com faces de 1 a 6.
\Omega = \{(i,j)\mid i\in\{1,2,3,4,5,6\},\,j\in\{1,2,3,4,5,6\}\}.
Como cada par é equiprovável, \lvert\Omega\rvert=36.

Passo 3

Definimos o evento
A=\{\text{“seis em pelo menos um dado”}\}=\{(i,j)\in\Omega\mid i=6\text{ ou }j=6\}.
O número de resultados sem nenhum seis é 5\times5=25, então os que têm pelo menos um seis são 36-25=11.
P(A)=\frac{11}{36}.

Passo 4

Definimos o evento
B=\{\text{“faces diferentes”}\}=\{(i,j)\in\Omega\mid i\neq j\}.
Há 6 resultados com i=j, logo 36-6=30 com i\neq j.
P(B)=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}.

Passo 5

Para a probabilidade condicional usamos
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
No evento A\cap B queremos “pelo menos um seis” e “faces diferentes”, ou seja, dos 11 casos de A excluímos (6,6), restando 10.
P(A\cap B)=\frac{10}{36}, \quad P(A\mid B)=\frac{10/36}{30/36}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Verificamos independência comparando P(A\cap B) com P(A)P(B):
P(A)P(B)=\frac{11}{36}\cdot\frac{5}{6}=\frac{55}{216}, \quad P(A\cap B)=\frac{10}{36}=\frac{60}{216}.
Como \tfrac{55}{216}\neq\tfrac{60}{216}, os eventos não são independentes.

Resposta

(a) \Omega=\{(i,j)\mid i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}\}.
(b) \displaystyle \frac{11}{36}.
(c) \displaystyle \frac{1}{3}.
(d) Não são independentes.

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