Uma artigo na revista Leyas Construction descreveu o uso de um modelo de regressão linear simples para expressar a relaçāo entre a resistència à tração x(\mathrm{em} \mathrm{MPa}) de um concreto e a quantidade de cimento y (em \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) utilizada na sua mistura. Os dados são apresentados a seguir:
x 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500
y 25 28 30 33 35 38 40 43 45 48 50
Ache a reta de regressão estimada e teste a sua existência ao nível de significância de 0,02 . ( 2 pontos)

Passo 1

O enunciado fornece n=11 observações de resistência à tração x (em MPa) e quantidade de cimento y (em kg/ m^{3}). Queremos ajustar o modelo de regressão linear simples
y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon
e testar, ao nível de significância \alpha=0,02,
H_0: \beta_1 = 0 \quad\text{vs.}\quad H_1: \beta_1 \neq 0.

Passo 2

Calcular as médias
\bar x = \frac{1}{11}\sum_{i=1}^{11} x_i = \frac{300+320+\cdots+500}{11} = \frac{4400}{11} = 400,
\bar y = \frac{1}{11}\sum_{i=1}^{11} y_i = \frac{415}{11} \approx 37,7273.

Passo 3

Calcular
S_{xx} = \sum_{i=1}^{11} (x_i - \bar x)^2 = 44000,
S_{xy} = \sum_{i=1}^{11} (x_i - \bar x)(y_i - \bar y) = 5500.

Passo 4

Estimar os coeficientes
\hat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{5500}{44000} = 0,125,
\hat\beta_0 = \bar y - \hat\beta_1 \,\bar x = 37,7273 - 0,125\cdot 400 = -12,2727.

Passo 5

Calcular a soma de quadrados de y e o resíduo:
S_{yy} = \sum (y_i-\bar y)^2 \approx 688,40,
\mathrm{SSE} = S_{yy} - \hat\beta_1\,S_{xy} = 688,40 - 0,125\cdot 5500 \approx 0,90.
O estimador da variância do erro é
s^2 = \frac{\mathrm{SSE}}{n-2} = \frac{0,90}{9} \approx 0,100,
logo o desvio padrão residual é s\approx0,316.

Passo 6

O erro-padrão de \hat\beta_1 é
\mathrm{se}(\hat\beta_1) = \sqrt{\frac{s^2}{S_{xx}}} = \sqrt{\frac{0,100}{44000}} \approx 0,001506.
O valor-t para testar H_0 é
t = \frac{\hat\beta_1 - 0}{\mathrm{se}(\hat\beta_1)} = \frac{0,125}{0,001506} \approx 83,0.

Passo 7

Para \alpha=0,02 e df=n-2=9, o valor crítico é t_{0,01;9}\approx2,821. Como
|t| = 83,0 \gg 2,821,
rejeitamos H_0 e concluímos que há relação linear significativa entre x e y.

Resposta

A reta de regressão estimada é
\hat y = -12,2727 + 0,125\,x.
O teste de significância para o coeficiente angular dá t\approx83,0 com df=9, o que supera o crítico \pm2,821 ao nível \alpha=0,02. Portanto, a relação é significativa.

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