Um novo alpinista acredita que haja uma relação linear entre o diâmetro de uma única corda e seu peso seco. Obteve-se uma amostra aleatória de cordas de escalada. Mediu-se o diâmetro de cada uma ( x, \mathrm{em} \mathrm{mm} ) e registrou-se, também, o peso de cada ( y, em gramas por metro). Os dados são apresentados na tabela a seguir.
x
10,07
9,54
10,34
10,85
9,85
9,45
9,95
10,63
9,73
10,34
y
71,2
64,5
67,2
73,5
64,5
65,2
68,2
70,9
67,8
72,0
Ache o coeficiente de correlação amostral e realize um teste de hipótese bilateral. Use o nível de significância de 0,05. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de n=10 pares (x_i,y_i), onde x_i é o diâmetro (em mm) e y_i é o peso seco (em g/m) de cada corda. Queremos (1) calcular o coeficiente de correlação amostral
r \;=\;\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)(y_i-\overline y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2\;\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline y)^2}}
e (2) testar
H_0:\rho=0 \quad\text{vs.}\quad H_1:\rho\neq 0
ao nível \alpha=0,05, usando a estatística
t \;=\;r\,\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}
com n-2 graus de liberdade.
Passo 2
Calculemos as médias amostrais
\overline x = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_i = 10{,}075,\quad \overline y = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}y_i = 68{,}5.
Passo 3
Agora computamos as somas de quadrados e de produtos centrados:
a) \displaystyle S_{xx}=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline x)^2\approx 1{,}9108
b) \displaystyle S_{yy}=\sum_{i=1}^{10}(y_i-\overline y)^2\approx 95{,}46
c) \displaystyle S_{xy}=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline x)(y_i-\overline y)\approx 11{,}1715
Passo 4
O coeficiente de correlação amostral é
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} = \frac{11{,}1715}{\sqrt{1{,}9108 \times 95{,}46}} \approx 0{,}827.
Passo 5
Para testar H_0:\rho=0, calculamos
t \;=\; r\,\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} = 0{,}827\;\sqrt{\frac{8}{1-0{,}827^2}} \approx 4{,}16,
com 8 graus de liberdade. O valor crítico bilateral para \alpha=0,05 é t_{0{,}975,8}\approx 2{,}306. Como |t|=4{,}16>2{,}306, rejeitamos H_0.
Resposta
O coeficiente de correlação amostral é aproximadamente r=0{,}83. No teste bilateral a 5\%, a estatística t\approx4{,}16 excede o crítico 2{,}306, portanto rejeitamos H_0 e concluímos que há correlação significativa.