Em um artigo sobre medidas de escoamento em tubos, o autor calculou q em m³/s, usando a fórmula:
q=C A_{1} \sqrt{\frac{2 g V\left(p_{1}-p_{2}\right)}{1-\left(A_{1} / A_{2}\right)^{2}}}
em que:
C = coeficiente adimensional
\mathrm{A}_{1}= área da seção transversal \left(\mathrm{m}^{2}\right)
\mathrm{A}_{2}= área da seção transversal \left(\mathrm{m}^{2}\right)
\mathrm{V}= volume específico \left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{kg}\right)
\mathrm{p} 1-\mathrm{p} 2=\mathrm{Pa}
\mathrm{g}= aceleração da gravidade \left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right)
Sabendo-se que a unidade de q é a correta, a equação satisfaz a consistência dimensional?
(2.5 pontos)

Passo 1

Resumindo o que foi pedido: queremos verificar se a fórmula
q = C\,A_{1}\,\sqrt{\frac{2\,g\,V\,\bigl(p_{1}-p_{2}\bigr)}{1-\bigl(A_{1}/A_{2}\bigr)^{2}}}
é consistente do ponto de vista das dimensões, sabendo que q tem unidade \mathrm{m^{3}/s} e C é adimensional.

Passo 2

Anotemos as dimensões (no sistema MKS) de cada grandeza:
\;[q]=\mathrm{L^{3}T^{-1}},
\;[C]=1,
\;[A_{1}]=\mathrm{L^{2}},
\;[A_{2}]=\mathrm{L^{2}},
\;[g]=\mathrm{LT^{-2}},
\;[V]=\mathrm{L^{3}M^{-1}},
\;[p_{1}-p_{2}]=\mathrm{ML^{-1}T^{-2}}.

Passo 3

Como o denominador 1-(A_{1}/A_{2})^{2} é adimensional, concentremo-nos em
A_{1}\,\sqrt{2\,g\,V\,(p_{1}-p_{2})}\,.
Primeiro, calculemos a dimensão de g\,V\,(p_{1}-p_{2}):
[g\,V\,(p_{1}-p_{2})] =\bigl(\mathrm{LT^{-2}}\bigr)\times\bigl(\mathrm{L^{3}M^{-1}}\bigr)\times\bigl(\mathrm{ML^{-1}T^{-2}}\bigr) =\mathrm{L^{3}T^{-4}}.

Passo 4

Tomando a raiz quadrada desse resultado, temos
\sqrt{[g\,V\,(p_{1}-p_{2})]} =\sqrt{\mathrm{L^{3}T^{-4}}} =\mathrm{L^{3/2}T^{-2}}.
Agora multipliquemos por A_{1} cujo fator é \mathrm{L^{2}}:
[A_{1}]\times\sqrt{[g\,V\,(p_{1}-p_{2})]} =\mathrm{L^{2}}\times\mathrm{L^{3/2}T^{-2}} =\mathrm{L^{7/2}T^{-2}}.

Passo 5

O resultado tem dimensão \mathrm{L^{7/2}T^{-2}}, mas q deve ter dimensão \mathrm{L^{3}T^{-1}}. Comparando:
\mathrm{L^{7/2}T^{-2}}\neq \mathrm{L^{3}T^{-1}},
logo há incompatibilidade dimensional.

Resposta

A equação não satisfaz a consistência dimensional.

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