Uma árvore foi transplantada e, x anos depois, está crescendo à razão de 1+1 /(x+1)^2 metros por ano. Após dois anos, atingiu uma altura de 5 metros. Qual era a altura da árvore quando foi transplantada?

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de crescimento da altura y(x) da árvore em função do tempo x (em anos) após o transplante:
dydx = 1 + 1(x+1)^2
Sabe-se que y(2)=5 metros. Queremos encontrar y(0), altura inicial da árvore. Para isso, vamos integrar a taxa de crescimento de 0 a x.

Passo 2

Escrevemos a altura y(x) como
y(x)=y(0)+integral0^xl(1+1(t+1)^2r),dt,
pois a variação de y entre 0 e x é dada pela integral da sua derivada.

Passo 3

Calculamos separadamente as integrais:
integral0^x1,dt = x,
integral0^x1(t+1)^2,dt = l[-tfrac1t+1r]0^x = -1x+1 + 1
Somando,
integral0^xl(1+1(t+1)^2r),dt = x - 1x+1 + 1

Passo 4

Assim,
y(x) = y(0) + x - 1x+1 + 1
Usando y(2)=5,
5 = y(0) + 2 - 13 + 1 = y(0) + 3 - 13 = y(0) + 83
Logo,
y(0) = 5 - 83 = 73

Resposta

A altura inicial da árvore era tfrac73 metros.

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