Uma árvore oscila, segundo a ação do vento, onde m=5 \mathrm{~kg} (massa da parte superior), c=4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, k=20 \mathrm{~N} / \mathrm{s}, F(t)=0, x(0)= 0,1 m, x^{\prime}(0)=0.
a) Determine a função que descreve a oscilação desta árvore
b) Construa o gráfico no GEOGEBRA.

Passo 1

No enunciado temos uma árvore que oscila como um sistema massa-mola-amortecedor sem força externa, com m=5, c=4, k=20 e condições iniciais x(0)=0,1, x'(0)=0. O conteúdo aqui é a resolução de uma EDO linear de segunda ordem homogênea amortecida.

Passo 2

A equação de movimento é
5x''+4x'+20x=0.
Vamos identificar o tipo de amortecimento e calcular a frequência amortecida.

Passo 3

O coeficiente de amortecimento é
\alpha=\frac{c}{2m}=\frac{4}{10}=0,4\;\text{s}^{-1},
a frequência natural é
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{20}{5}}=2\;\text{rad/s},
e a frequência amortecida (já que \alpha<\omega_0) é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}=\sqrt{4-0,16}=\sqrt{3,84}\approx1,96\;\text{rad/s}.

Passo 4

Como o sistema é subamortecido, a solução geral é
x(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr).

Passo 5

Aplicando x(0)=0,1 obtemos
A=0,1.
Derivando e impondo x'(0)=0 temos
x'(0)=-\alpha A+\omega_d B=0 \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{\alpha A}{\omega_d}=\frac{0,4\cdot0,1}{1,96}\approx0,0204.

Passo 6

Logo a solução particular é
x(t)=e^{-0,4\,t}\bigl(0,1\cos(1,96\,t)+0,0204\sin(1,96\,t)\bigr).

Passo 7

Para desenhar no GeoGebra, abra a calculadora gráfica e no campo de entrada digite
f(t)=e^{-0,4\,t}\bigl(0,1\cos(1,96\,t)+0,0204\sin(1,96\,t)\bigr),
defina o domínio de t como [0,20] e visualize a forma de onda amortecida.

Resposta

x(t)=e^{-0,4\,t}\bigl(0,1\cos(1,96\,t)+0,0204\sin(1,96\,t)\bigr).
No GeoGebra insira essa função e ajuste t\in[0,20] para obter o gráfico.

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