Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontrar a área da região englobada pelas curvas.
y=x^{3}-4 x^{2}+3 x, y=0

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^{3} - 4x^{2} + 3x e y = 0. Isso envolve cálculo de área entre uma curva e o eixo x, usando integrais definidas e pontos de interseção.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos
x^{3} - 4x^{2} + 3x = 0.
Fatorando,
x(x^{2} - 4x + 3) = x(x - 1)(x - 3) = 0,
logo as raízes são x = 0, x = 1 e x = 3.

Passo 3

Analisando o sinal de f(x)=x^{3}-4x^{2}+3x em cada intervalo:
  • Em (0,1) temos f(x)>0 (acima do eixo x).
  • Em (1,3) temos f(x)<0 (abaixo do eixo x).
Assim a região limitada está entre x=0 e x=3, dividida em duas partes: uma acima do eixo e outra abaixo.

Passo 4

A área entre a curva e o eixo x de a a b é
\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx.
Portanto a área total é
\int_{0}^{1} f(x)\,dx \;+\;\int_{1}^{3} (-f(x))\,dx.

Passo 5

Calculamos a antiderivada de f(x):
F(x) = \int \bigl(x^{3} - 4x^{2} + 3x\bigr)\,dx = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{4}{3}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2}.
Logo
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = F(1)-F(0) = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{5}{12},
\int_{1}^{3} f(x)\,dx = F(3)-F(1) = \Bigl(\frac{81}{4} - 36 + \frac{27}{2}\Bigr) - \frac{5}{12} = -\frac{8}{3}.

Passo 6

Como em [1,3] a função está abaixo do eixo, usamos o valor positivo da área ali:
\text{Área} = \frac{5}{12} + \Bigl(-\bigl(-\frac{8}{3}\bigr)\Bigr) = \frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}.Á

Resposta

A área da região englobada é \tfrac{37}{12} unidades de área.

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