Uma semente é lançada ao vento (ou pela própria árvore) e cai com resistência do ar, segundo o modelo:
y^{\prime \prime}+\frac{c}{m} y^{\prime}+g=0
onde m=0,01 \mathrm{~kg}, c=0,02 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, y(0)=2 \mathrm{~m}, y^{\prime}(0)=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Determine a função que descreve a queda desta semente em função do tempo.
b) Quanto tempo demora para esta semente cair no solo?
c) Construa o gráfico no GEOGEBRA.

Passo 1

O enunciado dá o modelo de queda de uma semente com resistência do ar
y'' + \frac{c}{m}\,y' + g = 0
onde m=0,01\:\mathrm{kg}, c=0,02\:\mathrm{kg/s}, g=9,8\:\mathrm{m/s^2} e as condições iniciais são y(0)=2\:\mathrm{m} e y'(0)=5\:\mathrm{m/s}.
O objetivo é:
a) achar y(t),
b) determinar o instante T em que y(T)=0,
c) mostrar como traçar o gráfico em GeoGebra.

Passo 2

Primeiro, note que \tfrac{c}{m}=2\:\mathrm{s^{-1}}. A equação é não homogênea, então achamos a solução geral como
1. solução da homogênea \;y''+2y'=0,
2. solução particular de y''+2y'=-g.
1. Para a homogênea \;y''+2y'=0, procuramos y_h=e^{rt}:
r^2+2r=0\;\Longrightarrow\;r(r+2)=0\;\Longrightarrow\;r_1=0,\;r_2=-2.
Logo
y_h(t)=A + B\,e^{-2t}.
2. Para a particular, tentamos y_p(t)=\alpha\,t. Então y_p'= \alpha, y_p''=0, e
0 + 2\alpha = -g \quad\Longrightarrow\quad \alpha = -\frac{g}{2} = -4,9.
Assim
y_p(t) = -4,9\,t.
A solução geral fica
y(t)=A + B\,e^{-2t} \;-\;4,9\,t.

Passo 3

Usamos as condições iniciais para achar A e B.
Em t=0:
y(0)=A+B-4,9\cdot0 = A+B = 2.
Derivando
y'(t) = -2B\,e^{-2t} -4,9,
em t=0:
y'(0) = -2B -4,9 = 5 \quad\Longrightarrow\quad -2B = 9,9 \quad\Longrightarrow\quad B = -4,95.
Então A = 2 - B = 2 + 4,95 = 6,95.
Portanto
\boxed{y(t) = 6,95 \;-\;4,95\,e^{-2t}\;-\;4,9\,t.}

Passo 4

Para achar o tempo T em que a semente atinge o solo, resolvemos
y(T)=6,95 -4,95\,e^{-2T} -4,9\,T = 0.
Essa é uma equação transcendental. Fazendo uma busca numérica (por exemplo método da bisseção ou usando calculadora), encontra-se
\boxed{T \approx 1,35\:\mathrm{s}.}

Passo 5

Para traçar o gráfico no GeoGebra:
1. Abra a Calculadora Gráfica (ou Gráfico).
2. No campo de entrada digite, por exemplo:
f(t) =6.95- 4.95*exp(- 2*t)- 4.9*t
3. Ajuste o eixo t de 0 a 2 e o eixo y de -1 a 3 para visualizar a curva e o ponto onde cruza y=0.

Resposta

a) \displaystyle y(t)=6,95 \;-\;4,95\,e^{-2t}\;-\;4,9\,t.
b) T\approx1,35\:\mathrm{s}.
c) No GeoGebra, insira
f(t)=6.95-4.95\,e^{-2t}-4.9\,t
na Calculadora Gráfica e ajuste os eixos conforme explicado.

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