Uma semente é lançada ao vento (ou pela própria árvore) e cai com resistência do ar, segundo o modelo:
onde
.
a) Determine a função que descreve a queda desta semente em função do tempo.
b) Quanto tempo demora para esta semente cair no solo?
c) Construa o gráfico no GEOGEBRA.
a) Determine a função que descreve a queda desta semente em função do tempo.
b) Quanto tempo demora para esta semente cair no solo?
c) Construa o gráfico no GEOGEBRA.
Passo 1
O enunciado dá o modelo de queda de uma semente com resistência do ar
onde
,
,
e as condições iniciais são
e
.
O objetivo é:
a) achar ,
b) determinar o instante em que
,
c) mostrar como traçar o gráfico em GeoGebra.
O objetivo é:
a) achar
b) determinar o instante
c) mostrar como traçar o gráfico em GeoGebra.
Passo 2
Primeiro, note que
. A equação é não homogênea, então achamos a solução geral como
. solução da homogênea
,
. solução particular de
.
Logo
Assim
A solução geral fica
Passo 3
Usamos as condições iniciais para achar
e
.
Em
:
Derivando
em
:
Então
.
Portanto
Passo 4
Para achar o tempo
em que a semente atinge o solo, resolvemos
Essa é uma equação transcendental. Fazendo uma busca numérica (por exemplo método da bisseção ou usando calculadora), encontra-se
Passo 5
Para traçar o gráfico no GeoGebra:
. Abra a Calculadora Gráfica (ou Gráfico).
. No campo de entrada digite, por exemplo:
f(t) -
*exp(-
*t)-
*t
. Ajuste o eixo
de
a
e o eixo
de
a
para visualizar a curva e o ponto onde cruza
.
f(t)
Resposta
a)
b)
c) No GeoGebra, insira
b)
c) No GeoGebra, insira
na Calculadora Gráfica e ajuste os eixos conforme explicado.