(a) Os pontos de intersecção do círculo x^{2}+y^{2}=4 e da reta y=x+2 são \qquad e \qquad .
(b) Expressa como uma integral definida em relação a x, dá a área da região dentro do círculo x^{2}+y^{2} =4 \mathrm{e} acima da reta y=x+2.
(c) Expressa como uma integral definida em relação a y, dá a área da região descrita em (b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a região comum ao círculo x^{2}+y^{2}=4 e à região acima da reta y=x+2:
1. (a) os pontos de intersecção;
2. (b) uma expressão para a área dessa região como integral em x;
3. (c) uma expressão para a área como integral em y.

Passo 2

Para (a), substituímos y=x+2 na equação do círculo:
x^{2}+(x+2)^{2}=4
x^{2}+x^{2}+4x+4-4=0
2x^{2}+4x=0
2x(x+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=-2.
Então os pontos são (0,\,0+2)=(0,2) e (-2,\,-2+2)=(-2,0).

Passo 3

Para (b), em cada x\in[-2,0] a parte superior da regi~ao vem do c’irculo
y=\sqrt{4-x^{2}} e a parte inferior vem da reta
y=x+2. Portanto a 'area 'e
\int_{x=-2}^{0}\bigl(\sqrt{4-x^{2}} - (x+2)\bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Para (c), em cada y\in[0,2] a parte `a esquerda da regi~ao vem do c’irculo
x=-\sqrt{4-y^{2}} e a parte `a direita vem da reta
x=y-2. Assim, a 'area tamb’em pode ser escrita como
\int_{y=0}^{2}\bigl((y-2)-(-\sqrt{4-y^{2}})\bigr)\,\mathrm{d}y
que 'e equivalente a
\int_{0}^{2}\bigl(\sqrt{4-y^{2}} + y - 2\bigr)\,\mathrm{d}y.

Resposta

(a) (-2,0) e (0,2)
(b) \displaystyle \int_{-2}^{0}\bigl(\sqrt{4-x^{2}} - (x+2)\bigr)\,\mathrm{d}x
(c) \displaystyle \int_{0}^{2}\bigl(\sqrt{4-y^{2}} + y - 2\bigr)\,\mathrm{d}y

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