Resolva os Problemas de Valor Inicial abaixo, relacionados equações diferenciais não homogêneas:
\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=-2 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' = -2,\quad y(0)=0,\;y'(0)=2
ou seja, é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar o método da solução geral como soma da solução da homogênea e de uma particular, e então impor as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y'' + 4y' = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r = r(r + 4) = 0,
cujas raízes são r=0 e r=-4. Logo a solução geral da parte homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2\,e^{-4x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p de
y'' + 4y' = -2.
Como o termo não homogêneo é constante e r=0 é raiz simples, fazemos o ensaio
y_p(x) = Kx.
Então y_p' = K e y_p''=0. Substituindo na EDO:
0 + 4K = -2 \quad\Longrightarrow\quad K = -\tfrac12.
Portanto
y_p(x) = -\tfrac12\,x.

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2\,e^{-4x} - \tfrac12\,x.
Derivando,
y'(x) = 0 + C_2\,( -4e^{-4x} ) - \tfrac12 = -4C_2\,e^{-4x} - \tfrac12.

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
Para x=0,
y(0) = C_1 + C_2 - 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = 0.
Para y'(0)=2,
y'(0) = -4C_2 - \tfrac12 = 2 \quad\Longrightarrow\quad -4C_2 = 2 + \tfrac12 = \tfrac52 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -\tfrac{5}{8}.
Daí C_1 = -C_2 = \tfrac{5}{8}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
y(x) = \tfrac{5}{8} \;-\; \tfrac{5}{8}\,e^{-4x} \;-\; \tfrac12\,x = \tfrac{5}{8}\bigl(1 - e^{-4x}\bigr) \;-\; \tfrac12\,x.

Resposta

y(x) = \tfrac{5}{8}\bigl(1 - e^{-4x}\bigr) - \tfrac12\,x.

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