Resolva os Problemas de Valor Inicial abaixo, relacionados equações diferenciais não homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
ou seja, é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar o método da solução geral como soma da solução da homogênea e de uma particular, e então impor as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
cujas raízes são
e
. Logo a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
de
Como o termo não homogêneo é constante e
é raiz simples, fazemos o ensaio
Então
e
. Substituindo na EDO:
Portanto
Passo 4
A solução geral da EDO é
Derivando,
Passo 5
Impondo as condições iniciais:
Para
,
Para
,
Daí
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos