Asserção: A área entre as curvas y=x^2 e y=x^3 no intervalo [ 0,1 ] é dada por integral0^1(x^2-x^3) d x.
Razão: Para calcular a área entre duas curvas, subtraímos a equação da curva inferior da equação da curva superior.
Escolha uma opção:a. Asserção verdadeira, Razão verdadeira, e Razão é uma explicação correta da Asserção.b. Asserção falsa, Razão falsa.c. Asserção falsa, Razão verdadeira.d. Asserção verdadeira, Razão falsa.e. Asserção verdadeira, Razão verdadeira, e Razāo nāo é uma explicação correta da Asserção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que fala sobre encontrar a área entre duas curvas, que são y = x^2 e y = x^3 no intervalo de 0 a 1. Pra resolver isso, vamos precisar saber como calcular áreas entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a asserção. Ela diz que a área entre as curvas y = x^2 e y = x^3 no intervalo [0,1] é igual à integral de x^2 - x^3 de 0 a 1, ou seja:
integral0^1 (x^2 - x^3) , dx
Isso parece correto, mas vamos verificar.

Passo 3

Para calcular a área entre duas curvas, precisamos saber qual delas está acima da outra no intervalo considerado. Vamos comparar y = x^2 e y = x^3 para x entre 0 e 1.
Quando 0 <= x <= 1 :
  • x^2 sempre é maior ou igual a x^3 porque se você elevar um número entre 0 e 1 a uma potência maior, o resultado diminui.
  • Por exemplo, para x = 0.5 :
0.5^2 = 0.25 e 0.5^3 = 0.125
Então, y = x^2 está acima de y = x^3 nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a teoria. A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo. Nesse caso, y = x^2 está acima de y = x^3 , então a área A é:
A = integral0^1 (x^2 - x^3) , dx
Isso confirma a asserção feita na questão.

Passo 5

Vamos verificar a razão apresentada: “Para calcular a área entre duas curvas, subtraímos a equação da curva inferior da equação da curva superior.” Essa é exatamente a regra que usamos para encontrar a área entre duas curvas, como fizemos no passo anterior.

Resposta

A opção correta é a. Asserção verdadeira, Razão verdadeira, e Razão é uma explicação correta da Asserção.

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