Seja a integral
integral 3 x^2x^3+1 d x
Temos as seguintes afirmações:
I. O método adequado para resolver esta integral é o método de substituição.
II. O método adequado para resolver esta integral é o método de integração por partes.
III. Se quisermos aplicar o método de substituição devemos considerar como u=x^3+1.
IV. Se quisermos aplicar o método de substituição devemos considerar como u=3 x^2
V . Se quisermos aplicar o método de integração por partes devemos considerar como u=x^3+1 e como dv=3 x^2 dx. São verdadeiras:
Escolha uma opção:
  • a. Somente I
  • b. Somente II
  • c. Somente II eV
  • d. Somente I eIV
  • e. Somente I e III

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral para resolver:
integral 3x^2x^3+1 , dx
O que precisamos aqui envolve técnicas de cálculo de integrais, especificamente os métodos de substituição e integração por partes. Vamos usar esses métodos para ver quais das afirmações dadas estão corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável u , tornando a integral mais simples de resolver. Basicamente, escolhemos u de forma que a derivada de u apareça na integral original.
No nosso caso, temos:
integral 3x^2x^3+1 , dx
Observamos que o denominador é x^3 + 1 , e a derivada de x^3 + 1 em relação a x é 3x^2 , que justamente está no numerador. Isso é um sinal de que a substituição pode ser uma boa estratégia.

Passo 3

Vamos aplicar a substituição. Definimos:
u = x^3 + 1
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x :
du = 3x^2 , dx
Perceba que 3x^2 , dx é exatamente o que temos no numerador da nossa integral. Então, podemos substituir:
integral 3x^2x^3+1 , dx = integral duu
Isso simplifica bastante a integral!

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral duu = ln|u| + C
Onde C é a constante de integração. Substituindo u de volta:
ln|x^3 + 1| + C
Então, resolvemos a integral usando a substituição u = x^3 + 1 .

Passo 5

Agora, vamos analisar as afirmações:
I. Verdadeiro. Usamos o método de substituição para resolver a integral.
II. Falso. Integração por partes não foi necessária aqui.
III. Verdadeiro. Escolhemos u = x^3 + 1 para a substituição.
IV. Falso. Escolher u = 3x^2 não ajuda a simplificar a integral.
V. Falso. Embora possamos aplicar integração por partes, não é a abordagem mais direta nem eficiente para essa integral.

Resposta

A opção e. Somente I e III é a correta.

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