Seja a integral
Temos as seguintes afirmações:
I. O método adequado para resolver esta integral é o método de substituição.
II. O método adequado para resolver esta integral é o método de integração por partes.
III. Se quisermos aplicar o método de substituição devemos considerar como
.
IV. Se quisermos aplicar o método de substituição devemos considerar como
V . Se quisermos aplicar o método de integração por partes devemos considerar como
e como
. São verdadeiras:
Escolha uma opção:
- a. Somente I
- b. Somente II
- c. Somente II eV
- d. Somente I eIV
- e. Somente I e III
Temos as seguintes afirmações:
I. O método adequado para resolver esta integral é o método de substituição.
II. O método adequado para resolver esta integral é o método de integração por partes.
III. Se quisermos aplicar o método de substituição devemos considerar como
IV. Se quisermos aplicar o método de substituição devemos considerar como
V . Se quisermos aplicar o método de integração por partes devemos considerar como
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral para resolver:
O que precisamos aqui envolve técnicas de cálculo de integrais, especificamente os métodos de substituição e integração por partes. Vamos usar esses métodos para ver quais das afirmações dadas estão corretas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável
, tornando a integral mais simples de resolver. Basicamente, escolhemos
de forma que a derivada de
apareça na integral original.
No nosso caso, temos:
Observamos que o denominador é
, e a derivada de
em relação a
é
, que justamente está no numerador. Isso é um sinal de que a substituição pode ser uma boa estratégia.
Passo 3
Vamos aplicar a substituição. Definimos:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Perceba que
é exatamente o que temos no numerador da nossa integral. Então, podemos substituir:
Isso simplifica bastante a integral!
Passo 4
Agora, a integral fica:
Onde
é a constante de integração. Substituindo
de volta:
Então, resolvemos a integral usando a substituição
.
Passo 5
Agora, vamos analisar as afirmações:
I. Verdadeiro. Usamos o método de substituição para resolver a integral.
II. Falso. Integração por partes não foi necessária aqui.
III. Verdadeiro. Escolhemos
para a substituição.
IV. Falso. Escolher
não ajuda a simplificar a integral.
V. Falso. Embora possamos aplicar integração por partes, não é a abordagem mais direta nem eficiente para essa integral.
Resposta
A opção e. Somente I e III é a correta.