Dê o domínio e esboce o gráfico.
f(x)=12 x+112 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio de
f(x)=12x+112x+1
e esboçar seu gráfico. Isso envolve identificar onde a função está definida, achar assíntotas (verticais e horizontais), interceptos e descrever o formato dos ramos.

Passo 2

O domínio vem da condição de que o denominador não zere:
Logo

Passo 3

Para achar a assíntota horizontal, note que ao dividir numerador por denominador:
12x+112x+1=6+52x+1
Como 52x+1to0 quando xtopminfty, a assíntota horizontal é
y=6
A assíntota vertical é x=-tfrac12, pois ali o denominador se anula.

Passo 4

Interceptos:
– Para y-intercepto, x=0:
f(0)=111=11,
dando o ponto (0,11).
– Para x-intercepto, f(x)=0 implica 12x+11=0, logo
x=-tfrac1112,
ponto l(-tfrac1112,0r).

Passo 5

Análise dos ramos:
– Se x>-tfrac12, então 2x+1>0 e 52x+1>0, logo f(x)>6. Esse ramo fica acima de y=6, tende a +infty quando xto(-tfrac12)^+ e a 6^+ quando xto+infty.
– Se x<-tfrac12, então 2x+1<0 e 52x+1<0, logo f(x)<6. Esse ramo fica abaixo de y=6, tende a -infty quando xto(-tfrac12)^- e a 6^- quando xto-infty.

Resposta

Domínio: Rsetminus-tfrac12.\n
Gráfico: hipérbole com assíntotas verticais em x=-tfrac12 e horizontais em y=6, interceptos em (0,11) e l(-tfrac1112,0r); ramo para x>-tfrac12 acima de y=6 e para x<-tfrac12 abaixo de y=6.

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