Utilize o teorema adequado para resolver o seguinte item:
Calcule integralgamma F d gamma, onde
F(x, y, z)=(2 x y z-2 y) i+(x^2+2 x) j+(x^2+2 y) k,
e gamma é a circunferência y^2+z^2=1 no plano x=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralgammaFcdot dgamma
onde
F(x,y,z)=(2xyz-2y),i+(x^2+2x),j+(x^2+2y),k
e gamma é a circunferência y^2+z^2=1 no plano x=2.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha fechada ao rotacional.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes, se S é o disco y^2+z^2<=1 contido no plano x=2 e orientado pelo vetor normal unitário n=i (e gamma=partial S orientada segundo a regra da mão direita em relação a n), vale
integralgammaFcdot dgamma =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS

Passo 3

Calculamos o rotacional nablatimesF através do determinante
nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz 2xyz-2y & x^2+2x & x^2+2y
Os componentes são
(nablatimesF)x&=partialy(x^2+2y)-partialz(x^2+2x)=2, (nablatimesF)y&=partialz(2xyz-2y)-partialx(x^2+2y)=2xy-2x, (nablatimesF)z&=partialx(x^2+2x)-partialy(2xyz-2y)=2x+2-(2xz-2)=2x(1-z)+4

Passo 4

No disco S temos n=i, logo
(nablatimesF)cdotn=(nablatimesF)x=2
Assim
integralgammaFcdot dgamma =integral duplaS2,dS

Passo 5

Como S é o disco de raio 1, sua área é pi. Portanto
integral duplaS2,dS = 2cdotpi = 2pi

Resposta

2pi

Exercícios relacionados