Asserção: Se as curvas y=x^2 e y=2 x se cruzam no intervalo [ 0,2 ], a área entre elas é A=3 / 4.
Razão: A curva y=x^2 e y=2 x está sempre acima da curva y=x^2 e y=2 x no intervalo [0,2], então subtraímos y=x^2 e y=2 x de 2 x diretamente para encontrar a área entre elas.
Escolha uma opção:
  • a. Asserção falsa, Razão verdadeira.
  • b. Asserçāo verdadeira, Razāo falsa.
  • c. Asserção verdadeira, Razāo verdadeira, e Razāo é uma explicação correta da Asserção.
  • d. Asserçāo verdadeira, Razāo verdadeira, e Razāo nāo é uma explicaçāo correta da Asserçāo.
  • e. Asserção falsa, Razāo falsa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta duas curvas, y = x^2 e y = 2x , que se cruzam no intervalo de 0 a 2. A afirmação é que a área entre elas nesse intervalo é A = 34 . A razão dada tenta explicar essa afirmação. Nosso objetivo é verificar se a afirmação e a razão são verdadeiras e se a razão explica corretamente a afirmação. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre gráficos de funções, pontos de interseção e cálculo de área entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam no intervalo [0,2]. Isso significa resolver a equação x^2 = 2x .
Para resolver x^2 = 2x , subtraímos 2x de ambos os lados:
x^2 - 2x = 0
Fatorando:
x(x - 2) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 2 . Portanto, as curvas se cruzam exatamente nos pontos x = 0 e x = 2 .

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre as duas curvas no intervalo [0,2], vamos usar a integral definida. A área entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) , onde f(x) >= g(x) no intervalo, é dada por:
A = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx
Aqui, f(x) = 2x e g(x) = x^2 , já que 2x está acima de x^2 no intervalo [0,2]. Então, a área A é:
A = integral0^2 (2x - x^2) , dx

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
integral (2x - x^2) , dx = integral 2x , dx - integral x^2 , dx
Calculando cada integral:
integral 2x , dx = x^2 + C
integral x^2 , dx = x^33 + C
Então,
A = [ x^2 - x^33 ]0^2
Substituindo os limites de integração:
A = ( 2^2 - 2^33 ) - ( 0^2 - 0^33 )
A = ( 4 - 83 ) - 0
A = 123 - 83
A = 43

Passo 5

Comparando com a afirmação inicial, que dizia que a área entre as curvas é A = 34 , percebemos que nosso cálculo resultou em 43 , que é diferente. Isso significa que a afirmação está incorreta.

Passo 6

Agora, vamos analisar a razão apresentada: “A curva y=x^2 e y=2x está sempre acima da curva y=x^2 e y=2x no intervalo [0,2], então subtraímos y=x^2 e y=2x de 2x diretamente para encontrar a área entre elas.”
Essa razão está confusa e redundante, além de conter um erro. Ela afirma que ambas as curvas estão acima de si mesmas, o que não faz sentido. O correto é reconhecer que, nesse intervalo, y=2x está acima de y=x^2 , então subtraímos y=x^2 de y=2x .

Passo 7

Portanto, a afirmação é falsa e a razão também é falsa, já que contém erros na explicação.

Resposta

e. Asserção falsa, Razão falsa.

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