Sejam as curvas
e
. Temos as seguintes afirmaçōes:
I. Os pontos de interseção das duas curvas acontecem em
ex
.
II. Para calcular a área entre as duas curvas devo considerar que a curva
está acima de
no intervalo [
].
III. A área entre as duas curvas é 20.
IV. A área entre as duas curvas é
.
São verdadeiras:
Escolha uma opção:
a. Somente I e IV
b. Somente I e III
c. Somente II e IV
d. Somente I e II
e. Somente II e III
I. Os pontos de interseção das duas curvas acontecem em
II. Para calcular a área entre as duas curvas devo considerar que a curva
III. A área entre as duas curvas é 20.
IV. A área entre as duas curvas é
São verdadeiras:
Escolha uma opção:
a. Somente I e IV
b. Somente I e III
c. Somente II e IV
d. Somente I e II
e. Somente II e III
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas curvas dadas por:
O objetivo é verificar a veracidade de quatro afirmações sobre os pontos de interseção dessas curvas e a área entre elas. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de interseção de curvas e cálculo de áreas entre funções.
Passo 2
Encontrando os pontos de interseção das curvas
Para encontrar onde as duas curvas se interceptam, igualamos as duas equações:
Vamos rearranjar a equação:
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de
onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Resolvendo a equação cúbica
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para raízes são os divisores do termo constante (
) divididos pelos divisores do coeficiente líder (
):
Possíveis raízes:
Testando
:
Testando
:
Portanto,
é uma raiz. Podemos fatorar a equação usando
:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, as raízes são
.
Passo 4
Verificando a afirmação I
A afirmação I diz que os pontos de interseção ocorrem em
e
. Mas, conforme encontramos, as interseções são em
. Portanto, a afirmação I é falsa.
Passo 5
Determinar qual curva está acima na faixa de interesse
A afirmação II menciona o intervalo
. Vamos verificar qual curva está maior nesse intervalo.
Escolhemos um ponto dentro do intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Como
, a curva
está acima de
no intervalo
. Portanto, a afirmação II é verdadeira.
Passo 6
Calculando a área entre as curvas
A área entre duas curvas
e
no intervalo
é dada por:
No nosso caso,
está acima de
no intervalo
. Então:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Portanto, a área entre as curvas é
.
Resposta
Somente as afirmações II e IV são verdadeiras.