Sejam as curvas y=x^3-6 x e y=8-3 x^2. Temos as seguintes afirmaçōes:
I. Os pontos de interseção das duas curvas acontecem em x=1 ex =-2.
II. Para calcular a área entre as duas curvas devo considerar que a curva y=8-3 x^2 está acima de y=x^3-6 x no intervalo [ -1,2 ].
III. A área entre as duas curvas é 20.
IV. A área entre as duas curvas é 81 / 4.
São verdadeiras:
Escolha uma opção:
a. Somente I e IV
b. Somente I e III
c. Somente II e IV
d. Somente I e II
e. Somente II e III

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas curvas dadas por:
y = x^3 - 6x e y = 8 - 3x^2
O objetivo é verificar a veracidade de quatro afirmações sobre os pontos de interseção dessas curvas e a área entre elas. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de interseção de curvas e cálculo de áreas entre funções.

Passo 2

Encontrando os pontos de interseção das curvas
Para encontrar onde as duas curvas se interceptam, igualamos as duas equações:
x^3 - 6x = 8 - 3x^2
Vamos rearranjar a equação:
x^3 - 6x - 8 + 3x^2 = 0 x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de x onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Resolvendo a equação cúbica
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para raízes são os divisores do termo constante ( -8) divididos pelos divisores do coeficiente líder ( 1):
Possíveis raízes: pm1, pm2, pm4, pm8
Testando x = 1 :
1^3 + 3(1)^2 - 6(1) - 8 = 1 + 3 - 6 - 8 = -10 neq 0
Testando x = 2 :
2^3 + 3(2)^2 - 6(2) - 8 = 8 + 12 - 12 - 8 = 0
Portanto, x = 2 é uma raiz. Podemos fatorar a equação usando (x - 2) :
x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = (x - 2)(x^2 + 5x + 4)
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
Então, as raízes são x = 2, x = -1, x = -4 .

Passo 4

Verificando a afirmação I
A afirmação I diz que os pontos de interseção ocorrem em x = 1 e x = -2 . Mas, conforme encontramos, as interseções são em x = 2, x = -1, x = -4 . Portanto, a afirmação I é falsa.

Passo 5

Determinar qual curva está acima na faixa de interesse
A afirmação II menciona o intervalo [-1, 2]. Vamos verificar qual curva está maior nesse intervalo.
Escolhemos um ponto dentro do intervalo, por exemplo, x = 0 :
Para y = x^3 - 6x :
y = 0^3 - 6(0) = 0
Para y = 8 - 3x^2 :
y = 8 - 3(0)^2 = 8
Como 8 > 0 , a curva y = 8 - 3x^2 está acima de y = x^3 - 6x no intervalo [-1, 2]. Portanto, a afirmação II é verdadeira.

Passo 6

Calculando a área entre as curvas
A área entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo [a, b] é dada por:
Área = integrala^b |f(x) - g(x)| , dx Á
No nosso caso, f(x) = 8 - 3x^2 está acima de g(x) = x^3 - 6x no intervalo [-1, 2]. Então:
Área = integral-1^2 (8 - 3x^2) - (x^3 - 6x) , dx = integral-1^2 -x^3 - 3x^2 + 6x + 8 , dx Á
Vamos integrar termo a termo:
integral -x^3 , dx = -x^44 integral -3x^2 , dx = -x^3 integral 6x , dx = 3x^2 integral 8 , dx = 8x
Portanto:
Área = [ -x^44 - x^3 + 3x^2 + 8x ]-1^2 Á
Calculando em x = 2 :
-(2)^44 - (2)^3 + 3(2)^2 + 8(2) = -164 - 8 + 12 + 16 = -4 -8 +12 +16 = 16
Calculando em x = -1 :
-(-1)^44 - (-1)^3 + 3(-1)^2 + 8(-1) = -14 +1 +3 -8 = -4.25
Subtraindo:
16 - (-4.25) = 20.25 = 814
Portanto, a área entre as curvas é 814 .

Resposta

Somente as afirmações II e IV são verdadeiras.

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