Asserção: A integral integral 2 xraizx^2+4 d x pode ser resolvida por substituição, onde u=x^2+4.
Razão: A substituição u=x^2+4 resulta em d u=2 x d x, o que simplifica a integral.
Escolha uma opção:
  • a. A asserção é verdadeira, mas a razāo é falsa.
  • b. Ambas as afirmaçōes sāo verdadeiras, mas a razão nāo é uma explicação correta da asserção.
  • c. Ambas as afirmaçōes sāo falsas.
  • d. A asserção é falsa, mas a razāo é verdadeira.
  • e. Ambas as afirmaçōes sāo verdadeiras, e a razāo é uma explicaçāo correta da asserção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre resolver uma integral usando uma substituição. A integral dada é:
integral 2xraizx^2+4 , dx
O conteúdo que precisamos aqui é de cálculo integral, especificamente o método de substituição. Vamos precisar entender como trocar variáveis para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a asserção: dizer que essa integral pode ser resolvida pela substituição onde u = x^2 + 4 .
Então, definimos:
u = x^2 + 4
A ideia da substituição é escolher uma parte da integral que, ao ser substituída, torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x :
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Olha só, o 2x , dx apareceu exatamente no numerador da nossa integral original! Isso é uma boa notícia porque significa que podemos substituir esses termos facilmente.

Passo 4

Substituindo u = x^2 + 4 e du = 2x , dx na integral, ficamos com:
integral 2xraizx^2+4 , dx = integral duraizu
Agora, a integral está em termos de u , o que geralmente é mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a nova integral:
integral duraizu = integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos para a variável original x :
2u^1/2 + C = 2raizx^2 + 4 + C
Então, a integral resolvida é 2raizx^2 + 4 + C .

Resposta

A opção e. Ambas as afirmações são verdadeiras, e a razão é uma explicação correta da asserção está correta.

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