In exercises 1-8, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
f(x)=raizx at a=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o polinômio de Taylor de grau dois que aproxima a função f(x) = raizx centrado no ponto a = 4 . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Taylor e como calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, ele é uma forma de aproximar uma função usando um polinômio, de modo que o polinômio “replica” a função em torno de um ponto específico a . No caso, queremos um polinômio de segundo grau (grau dois).
A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau n para uma função f(x) centrada em a é:
Pn(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + dots + f^(n)(a)n!(x - a)^n
Como queremos o grau dois, nosso polinômio ficará assim:
P2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2(x - a)^2

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função f(x) = raizx .
Primeira derivada ( f'(x) ):
f'(x) = 12raizx
Segunda derivada ( f''(x) ):
f''(x) = -14x^3/2

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto a = 4 .
Calculando f(4) :
f(4) = raiz4 = 2
Calculando f'(4) :
f'(4) = 12raiz4 = 12 times 2 = 14
Calculando f''(4) :
f''(4) = -14 times 4^3/2 = -14 times 8 = -132

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor de grau dois:
P2(x) = f(4) + f'(4)(x - 4) + f''(4)2(x - 4)^2
Substituindo os valores:
P2(x) = 2 + (14)(x - 4) + (-1322)(x - 4)^2
Simplificando:
P2(x) = 2 + 14(x - 4) - 164(x - 4)^2

Resposta

O polinômio de Taylor de grau dois que aproxima f(x) = raizx centrado em a = 4 é:
P2(x) = 2 + 14(x - 4) - 164(x - 4)^2

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