In exercises 1-8, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
at
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o polinômio de Taylor de grau dois que aproxima a função
centrado no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Taylor e como calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, ele é uma forma de aproximar uma função usando um polinômio, de modo que o polinômio “replica” a função em torno de um ponto específico
. No caso, queremos um polinômio de segundo grau (grau dois).
A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para uma função
centrada em
é:
Como queremos o grau dois, nosso polinômio ficará assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função
.
Primeira derivada (
):
Segunda derivada (
):
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor de grau dois:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau dois que aproxima
centrado em
é: